1、导数学习需注意的几个关系导数是研究函数的有利工具，是高考的重要内容。在导数的学习中理解好下几个关系，将对导数概念的和本质的掌握有极其重要的作用。1、 “过某点” 和“在某点处“的关系例 1 过点（-1，0）作抛物线 y=x2+x+1 的切线，则其中一条切线为（ ）A 2x+y+2=0 B 3x-y+3=0 C x+y+1=0 D x-y+1=0错解： y=2x+1 所以切线的斜率 K= 1xy故切线方程为(1)yx即 x+y+1=0 点评“在某点处 ”的切线表明此点是切点，而 “过某点” 的切线不一定是切点。这里就忽视了二者的区别。正解：设切点坐标是 0,xy，则切线斜率为 k=2x0+1因为
2、切线过点（-1，0）所以 021x即 20x所以00x2或所以切点坐标为（0，1）或(-2,3)故切线方程为 xy+1=0 或 3x+y12=0 所以应选 D2、 0fxf与 的关系例 2 已知 f(x)= 21,求 f。错解：因为 f(x)= x所以 f(2)= 213故 2f=0点评： f是导函数， f是函数的一个函数值，所以要求 2f应先求 fx正解：因为 f(x)= 21x，所以 22(1)1 ,()xxf故 f=215()93、 （）与函数单调性的关系例 3（05 年湖北）已知向量 a=( 2x，x+1) ，b= (1-x，t) 奎 屯王 新 敞新 疆若函数 )(xf=ab 在区间（
3、-1 ，1）上是增函数，求 t 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆错解：依定义 txxf 232)1()() ，txf3)( 奎 屯王 新 敞新 疆若 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设 )(xf0 奎 屯王 新 敞新 疆 )(xf的图象是开口向下的抛物线，当且仅当 ()0ft，且 (1)50ft时，)(xf在（-1，1）上满足 x0，即 xf在（-1，1 ）上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆故 t 的取值范围是 t5 奎 屯王 新 敞新 疆点评：若 )(f0，则 )(f在 R 上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆反之不成立。如 3fx在 R上单调递增，但 x0 奎 屯王 新 敞新
4、 疆所以 x0 是 )(f为增函数的充分不必要条件。若)(xf为增函数，则 )(f0，反之不成立。因为 )(xf0，即 )(xf0 或=0。当函数在某区间内恒有 )(xf=0 时， 为常数，函数不具有单调性。所以， )(xf0 是 )(f为增函数的必要不充分条件。一般地，使 )(xf=0 的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如 )(xf=x+sinx.正解：依定义 txtxf 232)1()() ，txf3)( 奎 屯王 新 敞新 疆若 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设 )(xf0 奎 屯王 新 敞新 疆 )(xf的图象是开口向下的抛物线，当且仅当 0)(tf，且 05)1(
5、tf时，)(xf在（-1，1）上满足 x0，即 x在（-1，1 ）上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆故 t 的取值范围是 t5 奎 屯王 新 敞新 疆4、 0fx与极值点的关系例 4 已知函数 f(x)=x(xc)2 在 x=2 处有极大值。求 c 的值。错解：由题意 32fxcx所以 )(f= 2234x因为函数 f(x)=x(xc)2 在 x=2 处有极大值，所以 180fc所以c=2 或 c=6故 c 的值为 2 或 6。点评： 0fx是 0fx为极值的必要但不充分条件。判断 0x是不是极值点需要检查根 两侧 )(的符号。如果左正右负，那么 f是函数 )(f的一个极大值；如果左负右正，那
6、么 0fx是函数 )(xf的一个极小值；如果符号相同，那么 0fx不是函数 )(的极值。正解：由题意 32cx所以 )(xf= 2234cx=3cx当 0fx即 或 时函数 f(x)=x(xc)2 可能有极值。当 x=2 时函数 f(x)=x(xc)2 有极大值，所以 c0.故 3c所以 ,3cx时 )(xf0，当 ,c时 )(xf0。所以当 cx时，函数 f(x)=x(xc)2 有极大值，所以 23c即 c=6.5、极值与最值的关系例 5 求函数 f(x)=sin2xx 在 ,2上的最大值和最小值。错解： )(xf=2cos1，令 0f，得 cos21x=0。解得 16x或26x当 ,6时，
7、 ()fx0,所以 f(x)在 ,26是减函数；当,6x时 ()fx0，所以 f(x)是增函数；当 ,62x时 ()fx0，所以f(x)是减函数。所以当 6x时，f(x)取最大值 326；当 x时，f(x)取最小值 362。点评：极值是比较极值点附近函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小） 。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大） ；而最值是指闭区间 ,ab上所有函数值的比较，所以极大（小）值不一定是最大（小）值，最值也不一定是极值。对闭区间 ,ab上的连续函数，如果在相应的开区间 ,内可导求 ,上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比较，就可判定最大（或最小）的函数值就是最大（或最小）值。正解： )(xf=2cos1，令 0fx，得 2cos1x=0。解得 16x或26x所以 326f， 326f 又 2f，2f所以函数 f(x) 在 ,2上的最大值和最小值分别为 ,2。
