1、有关定积分问题的常见题型解析定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这类题目占有非常重要的地位，它能解决很多实际应用问题。在解题时也会出现很多问题，下面研究一下有关定积分的问题的常见题型及注意的一些问题。题型一 用定义求定积分例 1、用定义求 dx301。分析：利用定义求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解 。解：（1）分割0，1： 1210nn 。（2）作和 in13133 。 （因为 x 3连续，所以 i可随意取而不影响极限，故我们此处将 i取为x i，x 1i的右端点也无妨。）（3）取极限 4121143413limlilimnnni nin。 （此处用到
2、了求和公式 2332 。 ）因此 dx01 4。评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。题型二 利用微积分基本定理求积分例 2、求下列定积分：（1） 130xd （2） 941xd 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。解：（1）因为 322131xx，所以 30d= 320= 。（2）因为12xx，312xx，所以 94d=329456。评注：利用微积分基本定理求定积分 dxfab)(的关键是找出)(/xfF的函数 )(xF。通常我们可以运
3、用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 )(x，即正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系。题型三 利用定积分求平面图形的面积例 3 如图 ，求直线 y=2x+3 与抛物线 y=x 2所围成的图形面积。分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。解：由方程组 23xy，可得 3,12x。故所求图形面积为：S dx312 312（x 23x） 2131。评注：求平面图形的面积的一般步骤：画图，并将图形分割成若干曲边梯形；对每个曲边梯形确定其
4、存在的范围，从而确定积分上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数和积分上下限。知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：（1）由三条直线 x=a、x=b（ab） 、x 轴，一条曲线 y= xf（ f0）围成的曲边梯形的面积：S badxf，如图 1。（2）由三条直线 x=a、x=b（ab） 、x 轴，一条曲线 y= xf（ f0）围成的曲边梯形的面积：S babadxfdxf，如图 2。（3）由两条直线 x=a、x=b（ab） 、两条曲线 y= xf、y= g（xgf）围成的平面图形的面积：S badf，如图 3
5、。题型四 解决综合性问题例 4、在曲线 2xy（x0）上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 1。试求：（1）切点 A 的坐标；（2）过切点 A 的切线方程。分析：设出切点 A 的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点 A 的坐标，使问题解决。解：如图，设切点 A（ 0,yx） ，由 2x ，过 A 点的切线方程为yy 02x （xx ）,即 y2x 0xx 2。令 y0,得 x= 20。即 C（ ，0） 。设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S，SS AOB曲 边 SABC。S OB曲 边 300321xdx， S ABC 1 BCAB 2（x 0 ）x 02 41x 03，即：S 3x 0 4x 03 1x 03 。所以 x 0=1，从而切点 A（1,1 ）,切线方程为 y=2x1。评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形 AOC的面积。
