1、数学归纳法在证明恒等式中的应用数学归纳法是直接证明的一种重要方法，是证明与正整数 n 有关的数学命题的一种重要方法，也是高考的热点问题之一不但要求能用数学归纳法证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查既要求善于发现、归纳结论，又要求能证明结论的正确性数学归纳法的应用十分广泛下面就数学归纳法在证明恒等式中的应用问题加以规律总结与实例剖析1证明恒等式中的规律数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其一般规律及方法：关键在于第二步，它有一个基本格式，不妨设命题为：P（n）：f（n）=g（n） ，其第二步相当于做一道条件等式的证明题：已知：f（k）=g（k） ，求证：f（k+1）=g（
2、k+1） 通常可采用的格式分为三步：（1）找出 f（k+1）与 f（k）的递推关系；（2）把归纳假设 f（k）=g（k）代入；（3）作恒等变形化为 g（k+1） 示意图为：结构相同递推恒等变形归纳假设f（k+1）=f （k）+ ak=g（k ）+ak=g（ k+1）当然递推关系不一定总是象 f（k+1）=f（k）+ ak这样的表达式，因此更为一般性的示意图为：f（k+1）=Ff（k） ，k，f（1）=Fg（k） ，k，g（1）=g（k+1） 2证明恒等式中的应用（1）代数恒等式的证明例 1用数学归纳法证明：1+4+7+（3n2）= n（3n1） （nN*） 2分析：在第二步的证明过程中通过利用
3、归纳假设，结合等式的变换与因式分解、变形，从而得以证明证明：（1）当 n=1 时，左边=1，右边=1，所以当 n=1 时，命题成立；（2）假设当 n=k（kN*）时命题成立，即 1+4+7+（3k2）= k（3k1） ，则当 n=k+1 时，1+4+7+（3k2）+3（k+1）2= k（3k1）+（3k+1）2= （3k 2+5k+2）= （k+1） （3k+2）= （k+1）3（k+1）1，11即当 n=k+1 时，命题成立；根据（1） 、 （2）可知，对一切 nN*，命题成立点评：数学归纳法的证明过程非常讲究“形式” ，归纳假设是必须要用到的，假设是起到桥梁作用的，桥梁不用或是断了，数学归
4、纳就通不过去了，递推性无法实现在由 n=k 时结论正确证明 n=k+1 时结论也正确的过程中，一定要用到归纳假设的结论，即 n=k 时结论变形练习 1：已知 nN*，证明：1 + + = +213412n+ 2n答案：（1）当 n=1 时，左边=1 = ，右边= ，等式成立；（2）假设当 n=k 时等式成立，即有 1 + + = +23412kk+ ，kk那么当 n=k+1 时，左边=1 + + + 23412k1)(2k= + + + = + + +)1(2k2kk1)(3k = + + + =右边，)()(2)(k)1()1(k所以当 n=k+1 时等式也成立；综合（1） 、 （2）知对一
5、切 nN*，等式都成立（2）三角恒等式的证明例 2用数学归纳法证明：tanxtan2x+tan2xtan3x+tan（n1）xtannx=n（n2，nN*） xta分析：本题在由假设当 n=k 时等式成立，推导当 n=k+1 时等式也成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式本题中涉及到两个角的正切的乘积，联想到两角差的正切公式的变形公式：tantan= 1，问题就会迎刃)tan(而解证明：（1）当 n=2 时，左边=tanxtan2x=tanx = ，右边x2tan12t= 2= 2= 2= ，等式成立；xtan2xtan)(2x2tan12t（2）假设当 n=k（k2，kN*）时，等式成立，即
6、tanxtan2x+tan2xtan3x+tan（k1）xtankx= k，xtan则当 n=k+1 时，tanxtan2x+tan2xtan3x+tan（k1）xtankx+tankxtan（k+1）x= k+tankxtan（k+1）x， （*）xtan由 tanx=tan（k+1）xkx= ，kktan)1t(可得 tankxtan（k+1）x= 1，xta代入（*）式，可得右边= k+ 1= （k+1） ，xktanxkktan)1(ktn)(即 tanxtan2x+tan2xtan3x+tan（k1）xtankx+tankxtan（k+1）x=（k+1） ，t)(即当 n=k+1 时
7、，等式也成立；由（1） 、 （2）知等式对任何 nN*都成立点评：数学归纳法在第二步的证明中， “当 n=k 时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用， “当 n=k+1 时结论正确”则是求证的目标在这一步中，一般首先要先凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假设，然后再进一步凑出n=k+1 时的结论要正确选择与命题有关的知识及变换技巧变形练习 2：用数学归纳法证明：cos cos cos cos =2x23xnx2（nN*） nxsi2答案：（1）当 n=1 时，左边=cos ，右边2x= = =cos ，等式成立；12sinxsi2cox（2）假设当 n=k 时等式成立，即有 cos cos cos cos =2x23xkx2kkxsin则当 n=k+1 时，cos cos cos cos cos = cos223xkx21kkx2sin1k= cos = ，即当 n=k+1 时，等式也成112cosinkkkx1k1sik立；由（1） 、 （2）知等式对任何 nN*都成立
