1、直接证明与间接证明例 1 已知 、 、 ，求证： 。abc033221abcabca例 2 当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。例 3 已知三个关于 的方程 ， ，x240mx2160x中，至少有一个方程有实根，求实数 的取值范围。2xm10m参考答案例 1：分析：不等式中的 、 、 为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考abc虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论。证明： ， 、 、 ， ，2022abab ， 。322abab3同理： ，33,cc将三式相加得 。2222abcac 33 332abcbcb。22 。3321caca评注：在运
2、用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件。例 2：分析：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常用“欲证 只需证 ”的AB语句，在证明过程中一个终结代替另一个终结时，必须注意它们间的等价性。证明：设圆和正方形的周长为 ，依题意，圆的面积为 ，正方形的面L2L积为 ，因此本题只需证明 。24L 224为了证明 成立，只需证明 ，224L216L两边同乘以正数 得 ，因此，只需证明 。214因为上式是成立的，所以 。2L2这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。评注：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实。因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。例 3：分析：含有至多、至少字样的问题，往往用反证法去解决。解析：三个方程都没有实根的充要条件是 即1230,.22160,443.m解得 。使三个方程至少有一个方程有实根的实数 的取值范围为 。m,24,评注：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若 则 为真”，该证“若 则pqp为假”，因此，反证法的核心是从 出发导出矛盾。q q
