1、第 7 课时 基本不等式的实际应用1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题 .3.能利用基本不等式解决实际问题 .今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分),上下空白各 2 dm,左右空白各 1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2. 问题 1:设阴影部分的高为 x dm,宽为 dm,四周空白部分面积是 y dm2.由题意得72y=(x+4)( +2)-72=8+2(x+ )8 +22 = . 72 144 144当且仅当 时,取得最小值 . 问题 2:用基本不等式解实际应用问题
2、的步骤(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把 定为函数; (2)建立相应的 ,把实际问题抽象为 问题; (3)在定义域内,求出函数的 ; (4)正确写出答案 .问题 3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求 f(x)=sin x+ ,x(0,) 的最值时,不能这样做: f(x)=sin x+ 2 =2 ,2 2 2 2因为当 x(0,)时无法满足 sin x= .2问题 4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等 .而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使
3、之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“ =”号的一致性 .1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).A.若 a,bR,则 + 2 =2 B.若 a,b 都为正数,则 lg a+lg b2 C.若 x1)的最小值 .2+81利用基本不等式解实际应用问题某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形 A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成 .已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米(如图所示) .(1)若设休闲区的长和宽的比 =x(x1),求公园 ABCD 所占面积
4、 S 关于 x 的函数 S(x)1111的解析式;(2)要使公园所占面积最小,则休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计?把实际问题转化成数学模型如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建造单价为每米 100 元,池底建造单价每平方米 60 元(池壁忽略不计) .问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低 .(1)已知 x0 且 x1,求 lg x+logx10 的取值范围 .(2)已知 x ,求 f(x)= 的最大值 .52 2424+5某公司一年需要一种计算机元件
5、 8000 个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分 n 次进货,每次购买元件的数量均为 x,购一次货需手续费 500 元,已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为 x 个,每个元件的库存费为每年 2 元,如果不计其他费用,12请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元 .设 f(n)表示前 n 年的纯利润总和( f(n)=前 n 年的总收入 -前 n 年的总支出 -投资额) .(1)该厂从第几年开始盈利?(2)若干年后,投资商为开发新项
6、目,对该厂有两种处理方案: 年平均纯利润达到最大时,以 48 万元出售该厂; 纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案更合算?1.设 00,则 y=3-3x- 的最大值为( ).1A.3 B.3-3 C.3-2 D.-133.已知正数 x,y 满足 + =1,则 x+2y 的最小值为 . 814.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 立方米,深为 3 米,如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?(2013 年陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影
7、部分),则其边长 x 为 (m). 考题变式(我来改编):第 7 课时 等比数列的前 n 项和知识体系梳理问题 1:na1 1(1)1 11问题 2: 1(1)1 1(1264)12问题 3:a1-a1qn na1 1(1)1问题 4:1基础学习交流1.B 设数列 an的公比为 q,则 q3= = ,q= , 数列 an的前 10 项和为 =2- .4118 121(12)10112 1292.C = =q4,所以 q=2.8445+6+7+81+2+3+43. 由 an+2+an+1=6an,得 qn+1+qn=6qn-1,即 q2+q-6=0,解得 q=2 或 -3(舍去),又 a2=1,
8、所以 a1=152,S4= = .12 12(124)12 1524.解: 公比为 q=2a,当 q=1,即 a= 时, Sn=n;12当 q1,即 a 时,则 Sn= .12 1(2)12S n=,=12,1(2)12,12.重点难点探究探究一:【解析】当 q=1 时, S3=3a1=3a3,符合题目条件;当 q1 时, =3a1q2,1(13)1因为 a10,所以 1-q3=3q2(1-q),即 1+q+q2=3q2,解得 q=- .12综上所述,公比 q 的值为 1 或 - .12【小结】对于等比数列来讲,必须要考虑 q=1 和 q1 两种情况 .探究二:【解析】(1)设等比数列 an的
9、公比为 q,则 an=a1qn-1,由已知得 a1+a2=2( + )= ,a 1a2=2,1112 2(1+2)12由 a1+a2=8( + )= = ,1314 8(3+4)34 82(1+2)34a 3a4=8q2,又 a 10,q0, 21=2,213=8,解得 a n=2n-1.1=1,=2,(2)由(1)知 bn= +log2an=4n-1+(n-1),2T n=(1+4+42+4n-1)+(0+1+2+3+n-1)= + = + .4141(1)2 413 (1)2【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用 .探究三:【解析】(1)根据已知条件 122+1
10、33=2,2233=36,整理得 32+23=12,3223=36,解得 3S2=2S3=6,即 2=2,3=3.(2)q 1,则 1(1+)=2,1(1+2)=3,可解得 q=- ,a1=4,12S n= = - (- )n.41(12)1+12 8383 12【小结】要熟记等比数列的前 n 项和公式 .思维拓展应用应用一: S 62 S3,q 1,1(13)1 =72,1(16)1 =632, 由 得 1+q3=9,q= 2,代入 得 a1= ,a n=a1qn-1=2n-2.12应用二:由题意可知,该数列的通项公式为 an=n+ ,12S n=(1+ )+(2+ )+(n+ )=(1+2
11、+3+n)+( + + + )= +1- .12 14 12 121418 12 (+1)2 12应用三:(1)由已知得( a1+d)2=a1(a1+3d),解得 a1=d 或 d=0(舍去),所以数列 an的通项是 an=nd.因为数列 a1,a3, , , ,成等比数列,12 即数列 d,3d,k1d,k2d,knd,成等比数列,所以公比 q= =3,k1d=32d,即 k1=9,3所以数列 kn是以 k1=9 为首项,3 为公比的等比数列,故 kn=93n-1=3n+1.(2)Sn= + + + , 132233334 3+1Sn= + + + , 13 133234335 3+2由 -
12、 ,并整理得 Sn= (1- )- = - .14 13 23+1142+343+1基础智能检测1.D 由 8a2+a5=0 得 8a1q+a1q4=0,q=- 2,则 = =-11.521(1+25)1(122)2.C 由 S3=a1(1+q+q2)=21 且 a1=3,得 q2+q-6=0,q= 2(负根舍去) .a 3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22S3=84.3.S2 设等比数列的公比为 q,若 S2计算正确,则有 q=2,但此时 S338, S465 与题设不32符,故算错的就是 S2,此时,由 S3=38 可得 q= 或 q=- ;当 q= 时, S4=65 也正确;当 q=- 时, S432 52 32 52不正确,舍去 .所以 q= .324.解:由 a4=a1q3= q3=-4,可得 q=-2,12因此,数列 |an|是首项为 ,公比为 2 的等比数列,12所以 |a1|+|a2|+|an|= =2n-1- .12(12)12 12全新视角拓展C 由已知得 =- ,则数列 an为公比是 - 的等比数列 ,a 2=- ,a 1=4,则数列 an+1 13 13 43前 10 项的和 S10= =3(1-3-10).41(13)101(13)思维导图构建三个 两个
