1、【步步高 学案导学设计】2014-2015 学年高中数学 第二章 解析几何初步章末总结北师大版必修 2 一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数” ，以“数”解“形” 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形” ，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果例 1 设点 P(x， y)在圆 x2( y1) 21 上求 的最小值y 2x 1例 2 讨论直线 y x b 与曲
2、线 y 的交点的个数4 x2二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件(在用二元二次方程x2 y2 Dx Ey F0 表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形例 3 过点 P(1,0)、 Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，求这两条直线方程例 4 求过点 A(3,1)和圆( x2) 2 y21 相切的直线方程三
3、、对称问题在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称1中心对称(1)两点关于点对称：设 P1(x1， y1)， P(a， b)，则 P1(x1， y1)关于 P(a， b)对称的点P2(2a x1,2b y1)，也即 P 为线段 P1P2的中点，特别地， P(x， y)关于原点对称的点为P( x， y)(2)两直线关于点对称：设直线 l1， l2关于点 P 对称，这时其中一条直线上任一点关于 P 对称的点都在另外一条直线上，并且 l1 l2， P 到 l1、 l2的距离相等2轴对称(1)两点关于直线对称：设 P1， P2关于直线 l 对称，则直线 P1P
4、2与 l 垂直，且 P1P2的中点在 l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程(2)两直线关于直线对称：设 l1， l2关于直线 l 对称当三条直线 l1、 l2、 l 共点时， l 上任意点到 l1、 l2的距离相等，并且 l1、 l2中一条直线上任意一点关于 l 对称的点在另外一条直线上；当 l1 l2 l 时， l1到 l 的距离等于 l2到 l 的距离例 5 已知直线 l： y3 x3，求：(1)点 P(4,5)关于 l 的对称点坐标；(2)直线 y x2 关于 l 的对称直线的方程；(3)直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线的方程例 6 自点 P(6,7)发出的光线 l
5、 射到 x 轴上点 A 处，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2 y28 x6 y210 相切于点 Q求光线 l 所在的直线方程第二章 章末总结 答案例 1 解 式子 的几何意义是点 P(x， y)与定点(1，2)连线的斜率如图，当为切线 l1y 2x 1时，斜率最小设 k，y 2x 1即 kx y k20，由直线与圆相切，得 1，| 1 k 2|k2 1解得 k 故 的最小值是 43 y 2x 1 43例 2 解 如图所示，在坐标系内作出曲线 y 的图像(半圆)4 x2直线 l1： y x2，直线 l2： y x2 2当直线 l： y x b 夹在 l1与 l2之间(包括 l1、 l
6、2)时， l 与曲线 y 有公共点；4 x2进一步观察交点的个数可有如下结论：当 b2 时，直线 y x b 与曲线 y 无公共点；2 4 x2当2 b2 或 b2 时，直线 y x b 与曲线 y 仅有一个公共点2 4 x2当 2 b2 时，直线 y x b 与曲线 y 有两个公共点2 4 x2例 3 解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为 x1， x0，它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k，则两条直线的方程分别为 y k(x1)，y2 kx令 y0，得 x1 与 x 2k由题意得|1 |1，即 k12k直线的方程为 y
7、 x1， y x2，即为 x y10， x y20综上可知，所求的直线方程为 x1， x0 或 x y10， x y20例 4 解 当所求直线斜率存在时，设其为 k，则直线方程为 y1 k(x3)，即 kx y13 k0直线与圆相切， d 1，解得 k0|2k 0 1 3k|1 k2当所求直线斜率不存在时， x3 也符合条件综上所述，所求直线的方程是 y1 和 x3例 5 解 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为P( x， y)，则点 P， P的中点 M 在直线 l 上，且直线 PP垂直于直线 l，即Error! ，解得Error! ， P坐标为(2,7)(2)设直线 l1： y x2 关
8、于直线 l 对称的直线为 l2，则 l1上任一点 P1(x1， y1)关于 l的对称点 P2(x2， y2)一定在 l2上，反之也成立Error!，解得Error! ，把( x1， y1)代入 y x2，整理得 7x2 y2220， l2方程为 7x y220(3)设直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线为 l，由于 l l，可设 l为 y3 x b (b3)由点到直线的距离公式得 ，|33 2 b|32 1 |33 2 3|32 1即| b7|10，解得 b17 或 b3(舍去)，直线 l的方程为 y3 x17，即对称直线的方程为 3x y170例 6 解 如图，作圆 x2 y28 x6 y210 关于 x 轴的对称圆 x2 y28 x6 y210，由几何光学原理知，直线 l 与圆 x2 y28 x6 y210 相切，又 l 的斜率必存在，故可设直线 l：y7 k(x6)，即 kx y6 k70由 d 2，|4k 3 6k 7|k2 1 10|k 1|k2 1得 k 或 k ，34 43故光线 l 所在的直线方程为 3x4 y100 或 4x3 y30
