1、2.5.1 平面几何中的向量方法学习目标1.运用向量的有关知识解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题 .2.会用平面向量知识解决几何问题的两种方法 向量法和坐标法 .3.通过本节的学习,体验向量在解决几何问题中的工具作用,培养创新精神 . 合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:若 O 为 ABC 重心,则 = . 问题 2:水渠横断面是四边形 ABCD,且 |=|,则这个四边形为 . 二、信息交流,揭示规律问题 3:(1)向量运算与几何中的结论 “若 a=b,则 |a|=|b|,且 a,b 所在直线平行或重合 ”相类比,你有什么体会?(2)由学生举出几个具有线
2、性运算的几何实例 .三、运用规律,解决问题【例 1】证明:平行四边 形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 .已知:平行四边形 ABCD.求证: AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:(1) ; (2) ; (3) . 【例 2】如图,平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AD,DC 边的中点, BE,BF 分别与 AC 交于 R,T 两点,你能发现 AR,RT,TC 之间的关系吗?四、变式演练,深化提高练习 :在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力
3、.你能从数学的角度解释这种现象吗?编题不只是教师的专利 .请自己编题,并且加以解决 .五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本 P113习题 2.5A 组第 1,2 题 .一、设计问题,创设情境问题 1:=0问题 2:等腰梯形二、信息交流,揭示规律问题 3:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来,例如,向量数量积对应着几何中的长度 .如图,平行四边行 ABCD 中,设 =a,=b,则 =a+b(平移), =a-b,=b2=|AD|2(长度) .向量的夹角为 DAB.因此,可用向量方法解决平面几何中的一
4、些问题 .三、运用规律,解决问题【例 1】证明:不妨设 =a,=b,则=a+b,=a-b,|2=|a|2,|2=|b|2.得 |2=(a+b)(a+b)=aa+ ab+ba+bb=|a|2+2ab+|b|2. 同理 |2=|a|2-2ab+|b|2. +得|2+|2=2(|a|2+|b|2)=2(|2+|2).所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 .用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果 “翻译
5、”成几何关系 .【例 2】解:设 =a,=b,则 =a+b.由与共线,因此,存在实 数 m,使得 =m(a+b).又由共线,因此存在实数 n,使得 =n=n(b- a).由 +n,得 m(a+b)=a+n(b-a).整理得( m+n-1)a+(m-n)b=0.由于向量 a,b 不共线,所以有解得所以 .同理 .于是 .所以 AR=RT=TC.四、变式演练,深化提高练习:解:不妨设 |F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则以及直角三角形,可以得到|F1|=.通过上面的式子我们发现, 当 由 0180逐渐变大时,由 090逐渐变大,cos的值由大逐渐变小,因此, |F1|由小逐渐变大,即 F
6、1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力 .2.5.2 向量在物理中的应用举例学习目标1.通过力的合成与分解、速度的合成与分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量概念和运算的认识 .2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学在现实生活中的作用 .合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:你掌握了物理中的哪些矢量?二、信息交流,揭示规律问题 2:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力 .为什么?用向量研究物理问题的步骤:三、运用规律,解决问题【例题】如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=5
7、00m,一艘船从 A 处出发到河对岸 .已知船的速度 |v1|=10km/h,水流速度 |v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到0.1min)?四、变式演练,深化 提高让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案 .(若课上时间不够,可转为课后作业)五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本 P113习题 2.5 第 A 组第 3,4 题;B 组第 2 题 .参考答案一、设计问题,创设情境问题 1:力、位移、速度、加速度等 .二、信息交流,揭示规律问题 2:夹角越大,合力越小问题转化
8、,即把物理问题转化为数学问题;建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题 .三、运用规律,解决问题【例 1】解: |v|=(km/h),所以 t=603.1(min) .答:行驶航程最短时,所用时间是 3.1min.五、反思小结,观点提炼1.利用向量解决物理问题的基本步骤:问题转化,即把物理问题转化为数学问题;建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题 .2.用向量知识解决物理问题时,要注意数形结合 .一般先要作出向量示意图,必要时可建立直角坐标系,再通过解三角形或坐标运算,求有关量的值 .
