1、【优化指导】2015 年高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4难易度及题号考查知识点及角度基础 中档 稍难向量的线性运算 2 11用已知向量表示其他向量 5 7共线向量定理的运用 1、4 6、8、10综合问题 3 9、12 131平面向量 a， b 共线的充要条件是( )A a， b 方向相同B a， b 两向量中至少有一个为零向量C存在 R， b aD存在不全为零的实数 1、 2， 1a 2b0解析：注意向量 a， b 是否为零向量，分类讨论若 a， b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 1、 2，使得 1a 2b0；若 a0，则由
2、两向量共线知，存在 0，使得 b a，即 a b0，符合题意，故选 D.答案：D2化简 4(a b)3( a b) b( )A a2 b B aC a6 b D a8 b解析：原式4 a4 b3 a3 b b a8 b.答案：D3给出下面四个结论：对于实数 m 和向量 a， b，恒有 m(a b) ma mb；对于实数 m， n 和向量 a，恒有( m n)a ma na；若 ma mb(m R)，有 a b；若 ma na(m， n R， a0)，有 m n.其中正确的结论个数是( )A1 B2C3 D4解析：正确因为实数与向量的积满足分配律正确因为实数与向量的积满足结合律错误因为若 m0，
3、则 a， b 可以是任意向量正确因为由 ma na，得( m n)a0，又 a0，所以 m n0，即 m n.故选 C.答案：C4已知向量 a， b，若 a2 b， 5 a6 b， 7 a2 b，则一定共线的三点是AB BC CD ( )A A、 B、 D B A、 B、 CC B、 C、 D D A、 C、 D解析： 5 a6 b7 a2 b2 a4 b2( a2 b)2 ，即 2 ， BC CD AB BD AB BD .又 ， 都有公共点 B， A， B， D 三点共线AB BD AB 答案：A5若 t (tR)， O 为平面上任意一点，则 _.(用 ， 表AP AB OP OA OB
4、示)解析： t ，AP AB t( )，OP OA OB OA t t (1 t) t .OP OA OB OA OA OB 答案：(1 t) t OA OB 6设 a， b 是两个不共线的非零向量，若向量 ka2 b 与 8a kb 的方向相反，则k_.解析：由题意知， ka2 b (8a kb)( 0)( k8 )a(2 k )b0.又 a， b 不共线，Error! 解得 ， k4.12答案：47.如图在边长为 a 的正方形 ABCD 中， E， F 分别为边 BC， CD 中点，设 a， b，试用 a， b 表示向量 ， .AE AF AB AD 解：因为 a， b，AE AB 12A
5、D AF 12AB AD 所以Error!解得 a b，AB 43 23 b a.AD 43 238已知 e10， R， a e1 e2， b2 e1，则 a 与 b 共线的条件是( )A 0 B e20C e1 e2 D e1 e2或 0解析：当 e1 e2时，易知 a 与 b 共线；若 e1与 e2不共线，设 a kb，则有 e1 e2 k2e1，即(12 k)e1 e20，于是Error!所以Error!因此若 a b，则 e1 e2或 0.故选 D.答案：D9在四边形 ABCD 中， a2 b， 4 a b， 5 a3 b，其中 a， b 不共线，AB BC CD 则四边形 ABCD
6、为( )A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析： a2 b， 5 a3 b，因为 a 与 b 不共线，所以 与 不共线所以 ABAB CD AB CD 与 CD 不平行又 8 a2 b，显然 2 .所以 AD BC.所以四边形 ABCDAD AB BC CD AD BC 为梯形故应选 A.答案：A10.如图，在 ABC 中， D， E 分别在 AB， AC 上，且 ，则ADAB AEAC 13_ .DE BC 解析： ， A A，ADAB AEAC 13 ADE ABC. .又 与 同向， .DEBC 13 DE BC DE 13BC 答案：1311已知向量 a， b.(1)计算：6 a4 a
7、 b5(2 a3 b)( a7 b)；(2)把满足 3x2 y a，4 x3 y b 的向量 x， y 用 a， b 表示出来解：(1)原式6 a(4 a b10 a15 b) a7 b6 a(6 a14 b) a7 b6 a6 a14 b a7 b13 a7 b.(2)Error!43，得(12 x8 y)(12 x9 y)4 a3 b，即 y4 a3 b，代入式，得 x (a2 y) (a8 a6 b)13 133 a2 b， x3 a2 b， y4 a3 b.12.如图， ABCD 为一个四边形， E、 F、 G、 H 分别为 BD、 AB、 AC 和CD 的中点，求证：四边形 EFGH
8、 为平行四边形证明： F、 G 分别是 AB、 AC 的中点， .FG 12BC 同理， .EH 12BC .FG EH 四边形 EFGH 为平行四边形13已知 ABC 中， a， b.对于平面 ABC 上任意一点 O，动点 P 满足AB AC a b， 0，)试问动点 P 的轨迹是否过 ABC 内的某一个定点？说OP OA 明理由解：以 AB， AC 为邻边作 ABDC，设对角线 AD、 BC 交于点E， (a b)AE 12AD 12由 a b 得到OP OA 2 (a b)2 ， 0，)，OP OA AP 12 AE 与 共线AP AE 由 0，)知道动点 P 的轨迹是射线 AE，必过 ABC 的重心1向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算2利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题3用已知向量表示其他向量的方法
