1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题1一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交解析：选 B 假设 a 与 b 是异面直线，而 c a，则 c 显然与 b 不平行(否则 c b，则有 a b，矛盾)因此 c 与 b 可能相交或异面2.如图所示，在三棱锥 SMNP 中， E、 F、 G、 H 分别是棱SN、 SP、 MN、 MP 的中点，则 EF 与 HG 的位置关系是( )A平行B相交C异面D平行或异面解析：选 A E、 F 分别是 SN 和 SP 的中点， EF PN.同理可证 HG PN， EF HG.3 如图
2、是一个正方体的平面展开图，则在正方体中， AB 与 CD 的位置关系为( )A相交 B平行C异面而且垂直 D异面但不垂直解析：选 D 将展开图还原为正方体，如图所示AB 与 CD 所成的角为 60，故选 D.4下列命题中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行正确的结论有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B 对于，这两个角也可能互补，故错；对于，正确；对于，不
3、正确，举反例：如右图所示， BC PB， AC PA， ACB 的两条边分别垂直于 APB 的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于，由公理 4 可知正确故正确，所以正确的结论有 2 个5若 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点，则( )A过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都平行B过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直C过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都相交D过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都异面解析：选 B 逐个分析，过点 P 与 l， m 都平行的直线不存在；过点 P 与 l， m 都垂直的直线只有一条；过点 P 与 l， m 都相交的直线
4、1 条或 0 条；过点 P 与 l， m 都异面的直线有无数条二、填空题6 空间中有一个角 A 的两边和另一个角 B 的两边分别平行， A70，则 B_.解析： A 的两边和 B 的两边分别平行， A B 或 A B180.又 A70， B70或 110.答案：70或 1107已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为 C1D1的中点，则异面直线 AE 与 A1B1所成的角的余弦值为_解析：设棱长为 1，因为 A1B1 C1D，所以 AED1就是异面直线 AE 与 A1B1所成的角在 AED1中， AE ，cos AED1 .12 12 (12)2 32 D1EAE1232 13答案：
5、138如图，点 P、 Q、 R、 S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ与 RS 是异面直线的一个图是_解析：中 PQ RS，中 RS PQ，中 RS 和 PQ 相交答案：三、解答题9.如图所示， E、 F 分别是长方体 A1B1C1D1ABCD 的棱A1A， C1C 的中点求证：四边形 B1EDF 是平行四边形证明：设 Q 是 DD1的中点，连接 EQ、 QC1. E 是 AA1的中点， EQ 綊 A1D1.又在矩形 A1B1C1D1中， A1D1綊 B1C1， EQ 綊 B1C1(平行公理)四边形 EQC1B1为平行四边形 B1E 綊 C1Q.又 Q、 F 是 DD1、
6、 C1C 两边的中点， QD 綊 C1F.四边形 QDFC1为平行四边形 C1Q 綊 DF.又 B1E 綊 C1Q， B1E 綊 DF. 四边形 B1EDF 为平行四边形10已知三棱锥 A BCD 中， AB CD，且直线 AB 与 CD 成 60角，点 M， N 分别是BC， AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角解：如图，取 AC 的中点 P，连接 PM， PN，因为点 M， N 分别是BC， AD 的中点，所以 PM AB，且 PM AB；12PN CD，且 PN CD，12所以 MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角所以 PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角因为直线 AB 与 CD 成 60角，所以 MPN60或 MPN120.又因为 AB CD，所以 PM PN ，(1)若 MPN60，则 PMN 是等边三角形，所以 PMN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.(2)若 MPN120，则易知 PMN 是等腰三角形所以 PMN30，即 AB 与 MN 所成的角为 30.综上可知： AB 与 MN 所成角为 60或 30.
