1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观 察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1 点、直线、平面之间的位置关系，2.2 直线、平面平行的判定及其性质，2.3 直线、平面垂直的判定及其性质.2.1 节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基
2、础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2 和 2.3 节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需 12 课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1.1
3、平面 约 1 课时2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 约 1 课时2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 约 1 课时2.1.4 平面与平面之间的位置关系 约 1 课时2.2.1 直线与平面平行的判定 约 1 课时2.2.3 直线与平面平行的性质 约 1 课时2.2.22.2.4 平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质 约 1 课时2.3.1 直线与平面垂直的判定 约 1 课时2.3.2 平面与平面垂直的判定 约 1 课时2.3.3 直线与平面垂直的性质 约 1 课时2.3.4 平面与平面垂直的性质 约 1 课时本章复习 约 1 课时2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1
4、.1 平面一、教材分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.二、教学目标1知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力. 2过程与方法（1）通 过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（
5、2）让学生归纳整理本节所学知识. 3情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.三、重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.四、课时安排1 课时五、教学过程（一）导入新课思路 1.(情境导入)大家都看过电视剧西游记吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路 2.(事例导入)观察长方体（图 1） ，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及
6、侧面、底面之间的关系吗？图 1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.（二）推进新课、新知探究、提出问题怎样理解平面这一最基本的几何概念;平面的画法与表示方法;如何描述点与直线、平面的位置关系？直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;描述点
7、、直线、平面的位置关系常用几种语言？自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：回忆我们学过的最基本的概念（原始概念） ，如点、直线、集合等.我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.确定一条直线需要几个点？引导学生观察教室的门由几个点确定.两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.文字语言、图形语言、符号语言.平面的基本性质小结.讨论结果：平面与我们学过 的点
8、、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念） ，只能通过对它描述加以理解，可以用 它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图 2.平行四边形的锐角通常画成 45，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图 3.图 2 图 3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母 、 的前面加“平面”二字，如平面
9、 、平面 、平面 等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图 4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面 ABCD（图 5） ；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面 AC（图 5）.图 4 图 5下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点 A 在直线 a 上（或直线 a 经过点 A） Aa点 A 在直线 a 外（或直线 a 不经过点 A） Aa点 A 在平面 内（或平面 经过点 A） A点 A 在平面 外（或平面 不经过点 A） A 元素与集合间的关系直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图 7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺
10、紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理 1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图 6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理 1 也可以用符号语言表示：若 Aa,Ba,且 A,B,则 a.图 6 图 7请同学们用符号语言和图形语言描述直线
11、与平面相交.若 Aa,Ba,且 A,B,则 a.如图（图 7）.在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图 8）.图 8公理 2 刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察
12、一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图（图 9） ，用符号语言表示为：P,且 P =l,且 Pl.图 9公理 3 告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另
13、外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理 3 不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.描述点、直线、平面的位置关系常用 3 种语言:文字语言、图形语言、符号语言.“平面的基本性质”小结：名称 作用公理 1 判定直线在平面内的依据公理 2 确定一个平面的依据公理 3 两平面相交的依据（三）应用示例思路 1例 1 如图 10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图 10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正 ，并及时评价.解：
14、在（1）中，=l,a=A,a=B.在（2）中，=l,a ,b ,al=P,bl=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A,B ,Al,Bl;(2)a,b ,ac,bc=P,=c.解：如图 11.图 112.根据下列条件，画出图形.（1）平面 平面 =l，直线 AB，ABl，EAB，直线 EF=F，F l;（2）平面 平面 =a，ABC 的三个顶点满足条件:Aa，B，B a，C，C a.答案：如图 12.图 12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位
15、置关系，然后用图形表示出来.例 2 已知直线 a 和直线 b 相交于点 A.求证：过直线 a 和直线 b 有且只有一个平面.图 13证明：如图 13,点 A 是直线 a 和直线 b 的交点,在 a 上取一点 B，b 上取一点 C，根据公理 2 经过不在同一直线上的三点 A、B、C 有一个平面 ，因为 A、B 在平面 内，根据公理 1，直线 a 在平面 内,同理直线 b 在平面 内，即平面 是经过直线 a 和直线 b 的平面.又因为 A、B 在 a 上，A、C 在 b 上，所以经过直线 a 和直线 b 的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理 2，经过不共线的三点 A、B、C 的平面有且只有一个
16、，所以经过直线 a 和直线 b 的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图 14，直线 a、b、c、d 两两相交，交点分别为 A、B、C、D、E、F,图 14直线 a直线 b=A,直线 a 和直线 b 确定平面设为 ，即 a,b.B、Ca，E、Fb,B、C、E、F.而 B、Fc，C、Ed,c、d ,即 a、b、c、d 在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理 2 外，确定平面的依据还有：(1)直线与 直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.(2)思路 2例 1 如图 15，已知 =EF,A,C、B,BC 与 E
17、F 相交，在图中分别画出平面 ABC与 、 的交线.图 15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图 16 所示，连接 CB，C, B,直线 CB.图 16直线 CB平面 ABC，平面 ABC=直线 CB.设直线 CB 与直线 EF 交于 D,=EF,D,D平面 ABC.A,A平面 ABC，平面 ABC=直线 AD.变式训练1.如图 17，AD平面 =B,AE平面 =C，请画出直线 DE 与平面 的交点 P，并指出点P 与直线 BC 的位置关系.图 17解：AD 和 AC 是相交直线，它们确定一个平面
18、ABC，它与平面 的交线为直线 BC，DE 平面 ABC，DE 与 的交点 P 在直线 BC 上.2.如图 18，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 8 cm，M、N、P 分别是 AB、A 1D1、BB 1的中点，图 18(1)画出过 M、N、P 三点的 平面与平面 A1B1C1D1的交线，以及与平面 BB1C1C 的交线.(2)设过 M、N、P 三点的平面与 B1C1交于点 Q，求 PQ 的长.解：(1)设 M、N、P 三点确定的平面为 ，则 与平面 AA1B1B 的交线为直线 MP，设MPA 1B1=R，则 RN 是 与平面 A1B1C1D1的交线，设 RNB 1C1=Q，连接 PQ
19、，则 PQ 是所要画的平面 与平面 BB1C1C 的交线.如图 18.(2)正方体棱长为 8 cm，B 1R=BM=4 cm，又 A1N=4 cm，B 1Q=3A1N,B 1Q=34= 4（cm）.在PB 1Q 中，B 1P=4 cm，B 1Q= 4cm，PQ= 0321Pcm.点评：公理 3 给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理 3 找两平面的交点和交线.例 2 已知ABC 三边所在直线分别与平面 交于 P、Q、R 三点，求证：P、Q、R 三点共线.解：如图 19,A、B、C 是不在同一直线上的三点,图 19过 A、B、C 有一个平面 .又AB=P，且 AB,点 P 既在 内又在 内.
20、设 =l,则 Pl,同理可证：Ql,Rl,P、Q、R 三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条 直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知平面 、 两两相交于三条直线 l1、l 2、l 3，且 l1、l 2、l 3不平行.求证： l1、l 2、l 3相交于一点.证明：如图 20，=l 1，=l 2，=l 3，图 20l 1，l 2 ，且 l1、l 2不平行,l 1与 l2必相交.设 l1l 2=P，则 Pl 1 ,Pl 2 ,P=l 3.l 1、l 2、l 3相交于一点 P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理 3.（四）知能训练画一个正方体 A
21、BCDABCD，再画出平面 ACD与平面 BDC的交线，并且说明理由.解：如图 21,图 21FCD，F平面 ACD.EAC，E平面 ACD.EBD，E平面 BDC.FDC，F平面 DCB.EF 为所求.（五）拓展提升O1是正方体 ABCDA1B1C1D1的上底面的中心，过 D1、B 1、A 作一个截面，求证：此截面与对角线 A1C 的交点 P 一定在 AO1上.解：如图 22,连接 A1C1、AC，图 22因 AA1CC 1，则 AA1与 CC1可确定一个平面 AC1，易知截面 AD1B1与平面 AC1有公共点 A、O 1，所以截面 AD1B1与平面 AC1的交线为 AO1.又 PA 1C，得 P平面 AC1，而 P截面 AB1D1，故 P 在两平面的交线上，即 PAO 1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.（六）课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.名称 作用公理 1 判定直线在平面内的依据公理 2 确定一个平面的依据公理 3 两平面相交的依据3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.（七）作业课本习题 2.1 A 组 5、6.
