1、点、线、面典例解析平面的基本性质与推论主要有：公理 1、公理 2 和公理 3、公理 4 及三个推论，它们是确定平面、判定直线或交线的基本依据为方便记忆，公理 1 可以简化成“两点定线” ，它是判定一条直线是否在某个平面内的依据（只要在直线上找出两个点在该平面内即可） ；公理 2 可简化为“窥一点知全线” ，它是寻找两个平面交线的依据；公理 3 可简化成“三点定面” （强调不共线） ，它是确定平面的根本方法，后面的几个推论本质上都源于此而公理4 体现了直线平行的传递性，且这种平行关系不受直线条数的限制，它是证明或判定两直线平行的主要依据应用公理 4 证明两条直线平行主要是要找出第三条直线与前两条
2、直线平行例 1 已知 ABC 在平面 外，且 ABP， CR， BQ，求证： PQR， ， 三点共线解析：如图 1，只需要证明 PQR， ， 都在平面 与 所在平面的交线上即可 AB， 平面 ABC，则点P平面 C，且 ，故点 P 在平面 与平面 的交线l上，即 l同理可证 QR， 也在平面 与平面 的交线上，即 QlR， ，因此 ， ， 三点共线（都在 l 上） 例 2 如图 2， ABC 与 1 三条边对应平行，且两个三角形不全等，证明三对对应顶点的连线相交于一点解析： 1 ，由推论 3 知 1AB， 可确定平面 ，同理 1 ， ，则 1CB， 和 AC， 可分别确定平面?茁、?酌，而且
3、与 1 不全等，则 1AB由 1，若 ， 交点为 P，则 1PAB， 又 C， ，则 ； 1A，则 P；所以点 在 上，即 1PC，这样点 在 1BC， ， 上，即三对对应顶点的连线相交于一点注：证明三条直线交于一点，可先设出两条直线的交点，然后证明此点在第三条直线上例 3 求证两两相交且不过一点的四条直线必在同一个平面内解析：可首先由两条相交直线确定一个平面，再证明其余直线都在该平面内即可，分两类情况：有三条直线共点；任何三条直线都不共点（1）如图 3，设直线 abc， ， 相交于点 O，直线 d和abc， ，分别交于 ABC， ， 三点，直线 ab， 确定平面为 ，则 ， ， ， ， ，由
4、公理 1， ， ，则 （即 ） ， C，则 由 O， ，则 ，则 c，所以 cd， ， ， 都在平面 内（2）如图 4，若 ab， ， ， 中任何三条直线都不共点，设abA， B， C， daD， cE，dF，直线 ， 确定平面为 ，则 ， b，DE， ，都在 内（即 AE， ， ） ，同理 ， ，由 F， ，则 ，即 d，同理 c综上所述， ab， ， ， 都在平面 内我们知道，空间平面是无限延展的，因此它们可以将各自所在的空间一分为二，于是我们有下面的问题：空间中的三个平面可以将整个空间分成多少个部分？此题可以借助三视图（见图 5，其中五个图形均以直线代替平面） ，得到 4、6、7、8 部
5、分例 4 正方体各面所在平面将空间分成几部分？解析：若从整体考虑难于处理难点在于平面是无限延展的类比“平面上一条直线把这个平面分成两部分”与“空间内一个平面把空间分成两部分”之间的联系，从三视图中的俯视图考虑：平面 1AB、平面 1C、平面 1D、平面 1A就变为直线 B、直线 C、直线 CD、直线 ，正方体 变成正方形 C（参考思维流程示意图 6） 由于平面是无限延展的，则“平面无限延展”类比“直线无限延伸” ，可以将正方形 AB延展为“井”字，因此侧面所在平面将空间分成 9 部分两个互相平行的平面又将“井”字分成三层，所以正方体各面所在平面将空间分成 27 部分例 5 如图 1，在长方体
6、1ABCD中， EF， 分别是 1CD， 的中点，求证：EFAB证明：连结 1，在长方体 1B中，有 1DC ，四边形 1AB是平行四边形， 1ADC 在 中， EF， 分别是 ， 的中点， 1C 由公理 4 知， 1B 点评：判断两条直线平行的基本方法是分别寻找与这两条直线平行的第三条直线，再利用平行线的传递性就能证得这两条直线平行例 6 如图 2，在空间四边形 ABCD中， MNPQ， ， ， 分别是四边形边上的点，且满足 k求证： MNPQ， ， ， 四点共面且四边形 为平行四边形证明： AkBD， ，且 1M 1QkA，即 kQBD又 CNPBD， ，且 1kN 1k，即 NPB MQ
7、 ，且 P ， ， ， 共面且四边形 MNQ为平行四边形点评：要证明 ， ， ， 四点共面，只需证明直线 与直线 NP平行即可，这也是平行四边形 MNPQ所必需的，因此，问题就转化为利用直线平行的传递性，寻找第三条直线分别与所求两条直线平行例 7 在平面几何中，经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行，这个结论在空间中是否成立？解：在空间中这个结论也成立下面用反证法证明：假设结论在空间中不成立，那么过直线 a 外一点 P有两条直线 b、 c 与 a 平行，即有 abc ， 由平行公理 4 知， bc ，这与 b、 c 有公共点矛盾所以，该结论在空间仍然成立点评：一般情况下，要把平面几何中的结论推广到立体几何中，需要经过证明才能使用，千万不能盲目套用总结：本题采用了反证法，其步骤为：（1）反设否定结论；（2）归谬由所作假设出发连同已知条件，通过推理，导出矛盾；（3）矛盾的产生是由于所作假设的错误，所以原命题正确像这种以线代面、以点代线的方法在立体几何中经常使用，从思维角度体现了化归与转化思想前三个例题都只用到平面的基本性质与推论，最后一道例题则结合了前面学习的三视图的思想方法，应注意在学习中前后知识的连贯性，不可把知识点孤立化，那样就太模式化或程式化了，很难学好数学
