1、2 三角形中的几何计算知能目标解读1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.重点难点点拨重点：应用正、余弦定理解三角形.难点：灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算.学习方法指导一、三角形中的几何计算问题正弦定理、余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角有着密切的联系.解三角形广泛应用
2、于各种平面图形，如菱形、梯形、平行四边形、扇形及一些不规则图形等，处理时，可通过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决，这是化复杂为简单，化未知为已知的化归思想的重要应用.注意：三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.二、正、余弦定理在几何计算问题中的应用规律1.对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.2.对于求平面
3、图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值，有时要用到不等式的均值定理（后面将要学习）求最值.3.正、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系，对三角形中的任何元素加以变化，都会引起三角形的形状、大小等的变化，但边角之间仍符合正、余弦定理，所以不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题化为简单问题来计算或证明.知能自主梳理三解形面积公式（1） S= ；2（2） S= absinC= = ;121(3
4、)S= r (r 为内切圆半径).答案 （1）底高 （2） acsinB bcsinA （3）( a+b+c)思路方法技巧命题方向 利用正、余弦定理求边长例 1 如图所示，在四边形 ABCD 中， AD CD,AD=10,AB=14, BDA=60, BCD=135,求 BC 的长.分析 本题的图形是由两个三角形组成的四边形，在 ABD 中，已知两边和其中一边的对角，用余弦定理可求出 BD 的长，在 BCD 中，应用正弦定理可求出 BC 的长.解析 在 ABD 中，由余弦定理，得 AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ADB, 设 BD x,则有 142=102+x2-210xcos60,
5、 x2-10x-96=0, x1=16,x2=-6(舍去)， BD=16.在 BCD 中，由正弦定理知 。BCDsinsi BC= sin308 .35sin62说明 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求解.变式应用 1如图所示，在 ABC 中，已知 BC=15,AB： AC=7；8,sin B= ,求 BC 边上的高 AD 的长.734分析 要求高 AD 的长，可先求 AB 的长，再在 Rt ADB 中，求出 AD 的长.解析 在 ABC 中，由已知设 AB=7x,AC=8x,x0,由正弦定理，得 ,BxCsin8i7sin C= .23748sin7x
6、B C=60或 120.若 C=120，由 8x7x，知 B 也为钝角，不合题意，故 C120. C=60.由余弦定理，得（7 x） 2=(8x) 2+152-28x15cos60, x2-8x+15=0,解得 x=3 或 x=5. AB=21 或 AB=35.在 Rt ADB 中， AD=ABsinB= A。734 AD=12 或 20 .3命题方向 利用正、余弦定理求角度问题例 2 在 ABC 中，已知 AB= AC 边上的中线 BD= ,求ABC6cos3645sinA 的值.分析 要求 sinA 的值，需根据“ D 是 AC 的中点”这个条件，取 BC 的中点 E，连结 DE，则 DE
7、 AB，所以 ABE+ BED=180,根据题目中的条件 cos ABC= ,进而求得6cos BED= .又由 AB,得 DE .在 BDE 中，利用余弦定理6213624可求出 BE，从而 BC 可求.再在 ABC 中，利用余弦定理可求出 AC，再利用正弦定理即可求出 sinA 的值. 解析 如图所示，取 BC 的中点 E，连结 DE，则 DE AB,且 DE=AB= .2136cos ABC= ,cos BED=- .6设 BE x,在 BDE 中，利用余弦定理，可得 BD2=BE2+ED2-2BEEDcos BED,即 5=x2+ x。638解得 x=1 或 x=- (舍去)，故 BC
8、=2.7在 ABC 中，利用余弦定理，可得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC= ,328即 AC= .31又 sin ABC= ，630cos12ABC .147sin630sin2。A说明 运用正、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解.变式应用 2在 ABC 中， A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c.设 a、 b、 c 满足条件 b2+c2-bc=a2和 ,求 A 和 tanB 的值.31bc解析 解法一：由余弦定理，得 cosA= = .bc21因此， A=60.在 ABC 中， C=180- A- B=120- B
9、.由正弦定理,得 + =213Cbcsin10si= 。B2cot3sin0oc0si 解得 cotB=2，从而 tanB= .21解法二：由余弦定理，得 cosA= = .bca21因此， A=60.由 b2+c2-bc=a2,得( )2=1+( )2- =1+ + +3- - = .432145 = . ba15由正弦定理，得 sinB= .5123sinAab由式可知 a b,故 B A，因此 B 为锐角，于是 cosB= ,从而52sin1tanB= .21cosin探索延拓创新命题方向 利用正、余弦定理解决平面几何中的面积问题例 3 已知 ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是
10、 a、 b、 c，设向量 m=(a,b), n=(sinB,sinA), p=(b-2,a-2).（1）若 m n,求证： ABC 为等腰三角形.（2）若 m p,边长 c=2,角 C ，求 ABC 的面积.3分析 (1) m n asinA=bsinB由正弦定理得 a=b ABC 为等腰三角形（2） m p a+b=ab由余弦定理求出 abS ABC解析 （1） m n, asinA=bsinB, =b ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，Rab2 a2=b2,a=b, ABC 为等腰三角形.(2)由题意可知 mp=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0. a+b=ab.由余弦定理可知
11、，4= a2+b2-ab=(a+b) 2-3ab,即( ab) 2-3ab-4=0, ab=4(舍去 ab=-1).S= absinC= 4sin = .13说明 解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能熟练地运用公式进行求值.变式应用 3（1）在 ABC 中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦.（2）求以（1）中的最大角为内角，相邻两边之和为 4 的平行四边形的最大面积.解析 （1）设三边长分别为 a-1,a,a+1,由于最大角是钝角，所以( a-1) 2+a2-(a+1) 2a解析 若 a 是最大边，则12+32a23a3 若 3 是最大边，则12+
12、a2323 a ,2 2k ( k+1)+2kk k+2kk+1所以 k ，故选 D.218.已知 a、 b、 c 为 ABC 的三个内角 A、 B、 C 的对边，向量 m=( ,-1), n=(cosA,sinA).3若 m n，且 acosB+bcosA=csinC,则角 A、 B 的大小分别为（ ）A. B. ，36。62C. ， D. ，3答案 C解析 mn=0, cosA-sinA=0,3tan A= ,又0b, CB, C=60或 C=120.当 C=60时， A=180-（30+60）90；当 C=120时， A=180-（30+120）30. ABC 是直角三角形或等腰三角形.
13、 15.在 ABC 中， C-A= ，sin B= .231（1）求 sinA 的值；（2）设 AC= ，求 ABC 的面积.6解析 （1）由 C-A= 和 A+B+C=，2得 2A= -B,0A .4cos2 A=sinB, 即 1-2sin2A= ,31sin A= .3（2）由（1）得 cosA= .36又由正弦定理，得 ,BCsini BC= .2316sinBAC C-A= , C= +A,2sin C=sin( +A)=cosA= ,36S ABC= ACBCsinC= 3 =3 .212123616.在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 cos2C= .41（1) 求 sinC 的值；(2)当 a=2,2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长.解析 (1)cos2 C=1-2sin2C=- ，0 C,41sin C= .410(2)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 = ,得 c=4,AasinC由 cos2C=2cos2C-1=- ,及 0C 得41cosC= .6由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得b2 b-12=0,解得 b= 或 2 ，6b= b=2所以 或 c=4 c=4
