1、正、余弦定理在三角形中的应用A组 基础巩固1在 ABC中，若 ，则 ABC是( )cosAcosB ba 43A直角三角形 B等腰三角形C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形解析：根据正弦定理 ，因此 sinBcosBsin AcosA，即 sin2Bsin2 A，ba sinBsinA cosAcosB所以 B A或 2B2 A，由于 ，所以 2B2 A 成立，即 B A .ba 43 2答案：A2 ABC中， AB ， AC1， B30，则 ABC的面积等于( )3A. B.32 34C. 或 D. 或32 3 32 34解析： ，sin C .0 C180， C60或 120.(1)当1s
2、in30 3sinC 32 C60时， A90， BC2.此时 S ABC .32(2)当 C120时， A30，此时 S ABC 1sin30 .12 3 34答案：D3在 ABC中， A60， AB1， AC2，则 S ABC的值为( )A. B.12 32C. D23 3解析： S ABC ABACsinA .12 32答案：B4在 ABC中， A60， AB2，且 ABC的面积 S ABC ，则边 BC的长为( )32A. B33C. D77解析： S ABC ABACsinA ，12 32 AC1，由余弦定理可得BC2 AB2 AC22 ABACcosA41221cos603.即 B
3、C .3答案：A5若 ABC的周长等于 20，面积是 10 ， B60，则边 AC的长是( )3A5 B6C7 D8解析：设 ABC中， A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知 B60，由题意，得Error!即Error!解得 b7，边 AC的长为 7.答案：C6在 ABC中， D是边 AC上的点，且 AB AD,2AB BD， BC2 BD，则 sinC的值为( )3A. B.33 36C. D.63 66解析：设 AB AD ，3则 BD AB2， BC2 BD4，23在 ABD中利用余弦定理得cosA ， 3 2 3 2 22233 13sin A .1 (13)2 223在
4、ABC中利用正弦定理得 ，BCsinA ABsinCsin C ，故选 D.ABsinABC 32234 66答案：D7在 ABC中，已知 a5， b3，角 C的余弦值是方程 5x27 x60 的根，则第三边 c的长为_解析：5 x27 x60 可化为(5 x3)( x2)0. x1 ， x22(舍去)35cos C .35根据余弦定理，c2 a2 b22 abcosC5 23 2253 16.35 c4，即第三边长为 4.答案：48已知 ABC的三个内角 A， B， C满足 2B A C，且 AB1， BC4，则 BC边上的中线 AD的长为_解析：2 B A C， A B C3 B180，
5、B60， BC4， BD2，在 ABD中，AD AB2 BD2 2ABBDcos60 .12 22 212cos60 3答案： 39在锐角三角形中，边 a、 b是方程 x22 x20 的两根，角 A、 B满足：32sin(A B) 0，求角 C的度数，边 c的长度及 ABC的面积3解：由 2sin(A B) 0，得 sin(A B) ，332 ABC为锐角三角形， A B120， C60，又 a、 b是方程 x22 x20 的两根，3 a b2 ， ab2.3 c2 a2 b22 abcosC( a b)23 ab1266， c ， S ABC absinC 2 .612 12 32 3210
6、在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，求证： c .ab ba (cosBb cosAa )证明：由余弦定理的推论得 cosB ，a2 c2 b22accosA ，代入等式右边，得b2 c2 a22bc右边 c(a2 c2 b22abc b2 c2 a22abc ) 左边，2a2 2b22ab a2 b2ab ab ba c .ab ba (cosBb cosAa )B组 能力提升11在平行四边形 ABCD中，对角线 AC ， BD ，周长为 18，则这个平行四边65 17形的面积为( )A16 B.352C18 D32解析：如右图，设 AB CD a， AD BC
7、b，则Error!即Error!解得Error! 或Error!cos BAD ，52 42 17254 35sin BAD ，从而 SABCD45 16.45 45答案：A12若三角形 ABC的三个内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且满足等式 c2a b b，则 B_.a2b c解析： b，c2a b a2b c a3 b3 c3 a2b ab2 c2b b2c abc0，即( a b c)(a2 c2 b2 ac)0.又 a， b， c表示边长， a b c0， a2 c2 b2 ac0，由余弦定理的推论得 cosB ，12 B60.答案：6013在 ABC中，内角 A，
8、 B， C的对边分别为 a， b， c，且 bsinA acosB.3(1)求角 B的大小；(2)若 b3，sin C2sin A，求 a， c的值解：(1)由 bsinA acosB及正弦定理 ，得 sinB cosB，3asinA bsinB 3所以 tanB ，3所以 B .3(2)由 sinC2sin A及 ，得 c2 a.asinA csinC由 b3 及余弦定理 b2 a2 c22 accosB，得 9 a2 c2 ac，所以 a ， c2 .3 314在 ABC中，求证： a2sin2B b2sin2A2 absinC.证明：法一：左边 a22sinBcosB b22sinAcosA a2 b2 2b2R a2 c2 b22ac 2a2R b2 c2 a22bc (a2 c2 b2 b2 c2 a2)ab2Rc 2c22 ab 2 absinCab2Rc c2R右边所以原式得证法二： a2sin2B b2sin2A(2 RsinA)22sinBcosB(2 RsinB)22sinAcosA8 R2sinAsinB(sinAcosBcos AsinB)8 R2sinAsinBsin(A B)8 R2sinAsinBsinC22 RsinA2RsinBsinC2 absinC.所以原式得证
