1、第 3课时 等比数列的前 n项和知能目标解读1.掌握等比数列的前 n项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前 n项和.2.掌握等比数列前 n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前 n项的问题.在应用时，特别要注意 q=1和 q1 这两种情况.3.能够利用等比数列的前 n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前 n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前 n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前 n项和公式（1）设等比数列 an，其首项为 a1，公比为 q，则其前 n
2、项和公式为na1 ( q=1)Sn= .( q1)n)1也就是说，公比为 q的等比数列的前 n项和公式是 q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在 q=1处.因此，使用等比数列的前 n项和公式，必须要弄清公比 q是可能等于 1还是不等于 1，如果 q可能等于 1，则需分 q=1和 q1 进行讨论.（2）等比数列 an中，当已知 a1,q(q1)， n时，用公式 Sn= ，当已知an1)(a1,q(q1)， an时，用公式 Sn= .n12.等比数列前 n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知： = = =q.12a31n当
3、 q1 时， =q,即 =q.1213n naS故 Sn= = .an)(当 q=1时， Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当 q1 时， Sn= = .qan1n)(1当 q=1时， Sn=na1.(3)利用关系式 Sn-Sn-1=an(n2)当 n2 时， Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1 Sn=a1+q(Sn-an)即(1- q)Sn=a1(1-qn)当 q1 时，有 Sn= ,n)(当 q=1时， Sn=na1.注意：(1)
4、错位相减法，合比定理法，拆项法及 an与 Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于 an为等差数列， bn为等比数列，求 anbn的前 n项和.3.等比数列前 n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个： a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比 q是否为 1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分 q=1和 q1 的讨论.4.等比数列前 n项和公式与函数的关系(1)当公比 q1 时，令 A= ，则等比数列的前 n项和公式可写成 Sn=-Aqn+A的形式.
5、由qa1此可见，非常数列的等比数列的前 n项和 Sn是由关于 n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比 q=1时，因为 a10，所以 Sn=na1是 n的正比例函数（常数项为 0的一次函数）.(2)当 q1 时，数列 S1,S2,S3,Sn,的图像是函数 y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列 S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数 y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前 n项和公式（1）等比数列 an的前 n项和为 Sn,当公比 q1 时， Sn= = ;当 q=1时， Sn= .(2)推导等比数列前 n项和公式的方
6、法是 .2.公式特点（1）若数列 an的前 n项和 Sn=p(1-qn)(p为常数)，且 q0, q1，则数列 an为 .（2）在等比数列的前 n项和公式中共有 a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求 .答案 1.（1） na1 (2)错位相减法q1)(n12.（1）等比数列 （2）三 二思路方法技巧命题方向 等比数列前 n项和公式的应用例 1 设数列 an是等比数列，其前 n项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数列的公比 q.分析 应用等比数列前 n项和公式时，注意对公比 q的讨论.解析 当 q=1时， S3=3a1=3a3,符合题目条件；当 q1 时， =3a1q2,)(1因为
7、a10,所以 1 q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得 q=- .综上所述，公比 q的值是 1或 .2说明 （1）在等比数列中，对于 a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前 n项和问题，必须注意 q是否等于 1，如果不确定，应分 q=1或 q1 两种情况讨论.（3）等比数列前 n项和公式中，当 q1 时，若已知 a1,q,n利用 Sn= 来求；若an1)(已知 a1,an,q,利用 Sn= 来求.an1变式应用 1 在等比数列 an中,已知 S3= ,S6= ,求 an.27解析 S6= ,S3= ,
8、27 S62 S3， q1.= a1)(= q)(6123得 1+ q3=9, q=2.将 q=2代入，得 a1= , an=a1qn-1=2n-2.命题方向 等比数列前 n项的性质例 2 在等比数列 an中，已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.分析 利用等比数列前 n项的性质求解.解析 an为等比数列， Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，( S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n) S3n= +S2n= +60=63.n2)(48)60(2说明 等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用 2 等比数列 an中， S2=7， S6=91,求 S
9、4.解析 解法一： an为等比数列， S2， S4-S2， S6-S4也为等比数列，（ S4-7） 2=7（91- S4） ，解得 S4=28或-21. S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0, S4=28.解法二： S2=7,S6=91, q1.=7 1)(=91 qa)(61得 q4+q2-12=0, q2=3, q= .3当 q= 时， a1= ,2)(7 S4= =28.)(41当 q=- 时， a1=- ,32)3(7 S4= =28.)(41探索延拓创新命题方向 等比数列前 n项和在实际问题中的应用例 3 某公司实行股份制，
10、一投资人年初入股 a万元，年利率为 25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出 x万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第 n年年底，此投资人的本利之和 bn与 n的关系式（不必证明） ；（3）为实现第 20年年底此投资人的本利和对于原始投资 a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则 x的值应为多少?(在计算中可使用 lg20.3)解析 (1)第一年年底本利和为 a+a25%=1.25a,第二年年底本利和为（1.25 a-x）+(1.25 a-x)25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.25 2a-1
11、.25x-x）+(1.25 2a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第 n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x.(3)依题意，有3951.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4395, x= 125.)(4.39920= . )(020设 1.2520=t,lg t=20lg（ ）=20(1-3lg2)=2.810 t=100,代入解得 x=96.变式应用 3 某大学张教授年初向银行贷款 2万元用于购房，银行货款的年利息为 10，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分 10年
12、等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解析 第 1次还款 x元之后到第 2次还款之日欠银行20000（110） x=200001.1 x,第 2次还款 x元后到第 3次还款之日欠银行20000(1+10%)- x(1+10%)- x=200001.12-1.1x-x,第 10次还款 x元后，还欠银行 200001.1101.1 9x-1.18x-x,依题意得，第 10次还款后，欠款全部还清，故可得200001.110（1.1 91.1 81） x=0,解得 x= 3255(元).102名师辨误做答例 4 求数列 1， a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+
13、a8+a9,的前 n项和.误解 所求数列的前 n项和 Sn=1+a+a2+a3+a 1)(= .an12)(辨析 所给数列除首项外，每一项都与 a有关，而条件中没有 a的范围，故应对 a进行讨论.正解 由于所给数列是在数列 1,a,a2,a3,中依次取出 1项，2 项，3 项，4 项，的和所组成的数列.因而所求数列的前 n项和中共含有原数列的前（1+2+ n）项.所以Sn=1+a+a2+a .当 a=0时， Sn=1.当 a=1时， Sn= .当 a0 且 a1 时，12)(n )(Sn= .an12)(课堂巩固训练一、选择题1.等比数列 an的公比 q=2，前 n项和为 Sn，则 =（ ）2
14、4aA.2 B.4 C. D. 15217答案 C解析 由题意得 = = .故选 C.24aS1)(4252.等比数列 an的前 3项和等于首项的 3倍，则该等比数列的公比为（ ）A.-2 B.1 C.-2或 1 D.2或-1答案 C解析 由题意可得， a1+a1q+a1q2=3a1, q2+q-2=0, q=1或 q=-2.3.等比数列2 n的前 n项和 Sn=（ ）A.2n-1 B.2n-2 C.2n+1-1 D.2n+1-2答案 D解析 等比数列2 n的首项为 2，公比为 2. Sn= = =2n+1-2,故选 D.qan1)()(2二、填空题4.若数列 an满足： a1=1,an+1=
15、2an（ nN +） ，则 a5= ;前 8项的和 S8=.（用数字作答）答案 16 255解析 考查等比数列的通项公式和前 n项和公式.q= =2,a5=a1q4=16,n1S8= =28-1=255.)(15.在等比数列 an中， Sn表示前 n项和，若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q= .答案 3解析 a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减，得 a3-a4=-2a3, a4=3a3, q=3.三、解答题6.在等比数列 an中，已知 a6-a4=24， a3a5=64，求数列 an的前 8项和.解析 解法一：设数列 an的公比为 q，根据通项公式 an=a1qn-1，
16、由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24, a3a5=(a1q3) 2=64, a1q3=8.将 a1q3=-8代入式，得 q2=-2,没有实数 q满足此式，故舍去.将 a1q3=8代入式，得 q2=4, q=2.当 q=2时，得 a1=1,所以 S8= =255;a1)(8当 q=-2时，得 a1=-1，所以 S8= =85.q)(8解法二：因为 an是等比数列，所以依题意得a24=a3a5=64, a4=8,a6=24+a4=248.因为 an是实数列，所以 0,46故舍去 a4=-8,而 a4=8， a6=32，从而 a5= =16.64公比 q的值为 q= =2,45当 q=
17、2时， a1=1,a9=a6q3=256, S8= =255;当 q=-2时， a1=-1， a9=a6q3=-256, S8= =85.9课后强化作业一、选择题1.等比数列 an中， a2=9,a5=243,则 an的前 4项和为（ ）A.81 B.120 C.168 D.192答案 B解析 公式 q3= = =27,q=3,a1= =3,25a942S4= =120.1)(342.已知等比数列的前 n项和 Sn=4n+a，则 a=（ ）A.-4 B.-1 C.0 D.1答案 B解析 设等比数列为 an ，由已知得 a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,a3=S3-S2=48, a22
18、=a1a3,即 144=(4+a)48， a=-1.3.已知等比数列的公比为 2，且前 5项和为 1，那么前 10项和等于（ ）A.31 B.33 C.35 D.37答案 B解析 解法一： S5 = =1qa1)(52)(51 a1= 3 S10= = =33,故选 B.q)(102)(10解法二： a1+a2+a3+a4+a5=1 a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=12532 S10 a1+a2+a9+a10=1+32=33.4.已知等比数列 an中，公比 q是整数， a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8项和为（ ）A.514 B.513
19、C.512 D.510答案 Da1+a1q3=18解析 由已知得 ，a1q+a1q2=12解得 q=2或 .21 q为整数， q=2. a1=2. S8= =29-2=510.1)(85.设 an是由正数组成的等比数列， Sn为其前 n项和，已知 a2a4=1,S3=7，则 S5=（ ）A. B. C. D. 25431317答案 B解析 设公比为 q,则 q0,且 a23=1,即 a3=1. S3=7, a1+a2+a3= + +1=7,即 6q2-q-1=0, q= 或 q=- (舍去)，1 a1= =4.2q S5= =8（1- ）= .2145）（ 51436.在等比数列 an （ n
20、N +）中，若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10项和为（ ）8A.2 B.2 C.2 D.289210212答案 B解析 a1=1,a4= ,8 q3= = , q= .142 S10= =21-（ ） 10=2- ,故选 B.210）（ 9217.已知等比数列 an的前 n项和为 Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比 q等于（ ）A.2 B.-2 C. D.- 21答案 AS3= =3, qa1)(3解析 S6= =27, )(61得 =9,解得 q3=8. 3 q=2,故选 A.8.正项等比数列 an满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列 bn的前 10
21、项和是（ ）A.65 B.-65 C.25 D.-25答案 D解析 an为正项等比数列， a2a4=1, a3=1,又 S3=13,公比 q1.又 S3= =13,a3=a1q2,1)(解得 q= .31 an=a3qn-3=( )n-3=33-n, bn=log3an=3-n. b1=2,b10=-7. S10= = 25.2)(010)5(二、填空题9.等比数列 ，-1，3，的前 10项和为 .答案 - 1476解析 S10= =- .3)(10 476210.（2011北京文，12）在等比数列 an中，若 a1= ,a4=4,则公比 q=2;a1+a2+an= .答案 2,2 n-1-解
22、析 本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前 n项和公式可解得.=q3= =8，所以 q=2，所以 a1+a2+an= =2n-1- .14a2)(n2n-1 ( n为正奇数)11.已知数列 an中， an= ，则 a9= .2n-1 （ n为正偶数）设数列 an的前 n项和为 Sn，则 S9= .答案 256 377解析 a9=28=256，S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比数列 an中，已知对于任意 nN +,有 a1+a2+an=2n-1,则 a21+a22+a2n=.答案 4n-31解析 a1+a2+an=2n-1, a1+a2+an-
23、1=2n-1-1(n2),两式相减，得 an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1, a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-1, a21+a22+a2n= = 4n- .43三、解答题13.在等比数列 an中，已知 a3=1 ， S3=4 ，求 a1与 q.21S3= =4q)(12解析 （1）若 q1,则 ，a3=a1q2=1 从而解得 q=1或 q=- .21q=- q1, .a1=6S3=3a1=4 q=12（2）若 q=1,则 ， .a3=a1=1 a1=1 2q=- q=12综上所述得 ，或 .a1=6 a1=1 214.(2011大纲文科，17)设等比数列 an的
24、前 n项和为 Sn，已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an和Sn.分析 设出公比根据条件列出关于 a1与 q的方程.求得 a1与 q可求得数列的通项公式和前 n项和公式.解析 设 an的公比为 q，由已知有：a1q=6 a1=3 a1=2.解得 或6a1+a1q2=30 q=2 q=3(1)当 a1=3,q=2时，an=a1qn-1=32n-1Sn= = =3(2n-1)n)(2)(3n(2)当 a1=2,q=3时， an=a1qn-1=23n-1Sn= = =3n-1.n)(3)(综上， an=32n-1,Sn=3(2n-1)或 an=23n-1,Sn=3n-1.15.已知实数列 an是等比数列，其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6成等差数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)数列 an的前 n项和记为 Sn,证明： SnT10,故王明选择了 A公司
