1、作者:姚艺 复变函数中的洛必达法则指导教师：王培专业名称：勘查 12-2 班2014 年 4 月 30 日学号：2012011192关于复变函数中的“洛必达”法则摘要：洛必达法则是计算未定式的一个重要法则，在复变函数中运用泰勒级数以及洛朗级数，从而将实变函数中的洛必达法则，推广到复变函数中。关键词：未定式，洛必达法则，解析，泰勒级数，洛朗级数正文：在实变函数中，洛必达法则是计算未定式 与 ， ，0*极限的有力工具，用它能解决大量未定型极限的计算问题。-而在复变函数中，我们可以通过泰勒级数，洛朗级数为工具，来把实变函数洛必达法则引进来。1.未定式 的极限0定理 1：设 1）函数 ， 在点 a 的
2、某去心领域 k-a内解)(zfg析；2） ， ，但 ；可以得到)(limaz-f0liaz-0)(,z)(li)(ligfazaz证明：有定理条件可知，点 a 是 ， 的可去奇点（因为)(zfg， 的极限值均为有限值） ，于是在 k 内的 ，0)(limaz-f0)(liaz- )(zf的洛朗展开式g（m 是自然数） ，11)()()mmzbzf（n 也是自然数）nnnacac而 （m 是自然数）mmazbzf )()()()( 11（n 也是自然数）nnccg很显然 11)()(lim)(li nnnmmazaz azccbgf= )(li1az- n而对于该极限显然有三种情况：1）若当 m
3、=n 时，原式= ；mcb2）若当 mn 时，原式=0；3）若当 mn 时，原式=0；3）若当 mn 时，原式=0；3）若当 mn 时，原式=0；3）若当 mn 时，原式= ；故当 也有三种情况与上面一样所以定理五 设 1） ， 在点 的某去心领域 k- 内解析；)(zfg4） 0)(lim)(li)(lim)(li 1)( zgzzzgfff nzzgfz ）（）（ 1-1- )()() mmzbzbf ）（）（ - nnnacacg mmazbzbzf )()()()( )11- nnc)(- )(li)(li )1(z- azagf naz)()1()(li)(lim) azcncbba
4、zgf mmnaz )(li)(lizfzfaaz5） )()lim(或zgfnz那么 )(li)(lizffnzz证明：在定理条件下， 都满足定理一的条件，于是有)(),(11zgfn，同理有 ，一直这样下)(lim)(li1zgfzgfnnz )(lim)(li 12zgffnznz 去，直到 所以)(li)(li ffzz )(li)(liffnzz定理六 设 1） ， 在无穷远点 的某去心领域 k- 内解析；fg2） 如果极限 存在)(lim,)(lizgzfzz )(limzgfz可以得到 )(li)(lizfzfz这个定理，可以做 ，当 时，也逐渐趋近于零，此时可以变化为 时的去心
5、领域 k-0内模仿即可，这里不再证明。对于 ， 的极限，可以化成上述的类型进行计算。结论：由上述论证可知，复变函数中也是存在洛必达法则的。而这个洛必达法则在很多复变函数的计算中都能够得到应用，比如在求孤立奇点的类型，可以通过求函数在奇点的极限值进行判断，但对于 0/0 型的函数，就可以去使用洛必达法则进行计算。除此之外，我们也会发现这种方法巧妙地避开了中值定理的证明，因为复变函数中的中值定理与实变函数中的中值定理是不一样的，不能够直接使用。同时，对于能够采取级数展开的一个很大的原因，就是解析10*-函数可以任意阶求导，而实变函数中的函数（除了几个初等函数等） ，很难做到任意阶求导，这也就是为什
6、么在实变函数中，我们采取中值定理进行证明。参考文献：1.华东师范数学系编. 数学分析（第三版）M.北京:高等教育出版社 20012.复变函数中的洛必达法则.晋中学院.吴琼.20063.高等数学（上）. 同济大学编第六版.2007附：积分中值定理和微分中值定理的证明积分中值定理：设函数 是凸区域 内的解析函数， ， 是 内的任意两点，fzD1z2D则在 与 的连线段 上至少存在两点 ， 使得1z212.1 21ReImzfdfifz证明 因为 是区域 内的解析函数， 为凸区域，所以 与 的连线段D2z12z， 的方程D12z， .121zzt01t由复变函数积分计算法知 21121210zfdf
7、tdt21 1210ReImzfzifztd. 1212210Itifzt 因为 为解析函数，故 必为 的连续函数，从而fzfz及 均为 的连续函数，由实函数中的积分121Ret121Imztt中值定理，必存在 ， 使0,1，121210ReRefztdfz.11ImIm令，1212zz，则 21 21ReImzfdfifz微分中值定理：设 是定义在凸开集 上的解析函数， ， ， ，zD1z2D12z则存在 ， 使得12,)(Im)(Re)(21 fifzff 证明：容易看到 ，将积分中值定理用于该式就可以得到dzfffz12)( )(I)(e)( 212112 zfidzzff 也即 mR21 fif下面我们再用牛顿-莱布尼茨公式证明洛必达法则函数 ， 在点 a 的某去心领域 k-a内解析 令)(FzG )(),(F zgGzf2） ， ，但 ， 可以得到0limaz-0)(liaz-0)(G,z )(lim)(lifazaz证明：由于 ， 在点 a 的某去心领域 k-a内解析，而对于 a 点来说，我们认为其)(FG是可去奇点，所以我们定义 F(a)=0,G(a)=0。所以 )(Im)(Reli)(lim)(li)(lim azgiffdxgfazFz azzaaaz = = =)(Im)(Reagifff)(lizgfaz所以在这种情况下得证。
