1、绪论一、研究对象理论力学研究物体机械运动一般规律的科学。机械运动物体在空间的位置随时间的改变，是人 们生活、生产中最常见的一种运动，是物质各种运动形式中最简单的一种。本课程研究速度远 小于光速的宏观物体的机械运动，以枷利略和牛顿总结的基本定律(牛顿三定律) 为基础，属古典力学的范畴，理论力学研究的是这种运动中最一般、最普遍的 规律，是各门力学分支的基 础。二、研究内容1、静力学研究物体在力系作用下平衡的规律。2、运动学从几何角度研究物体的运动。 （如轨迹、速度、加速度等，不涉及作用于物体上的力）3、动力学研究受力物体的运动与作用力之间的关系。三、研究方法1、通过观察和实验，分析、归纳总结出力学
2、最基本的规律。2、经过抽象化建立力学模型，形成概念。3、经过逻辑推理和数学演绎，建立理论体系。4、将理论用于实践，又在实践中验证和发展理论。四、学习目的1、为解决工程问题打下一定基础。工程专业一般都要接触机械运动问题。2、为后续课程打下基础。 （例：材料力学、机械原理、机械设计等）3、理论力学的研究方法有助于培养正确的分析、解决问题的能力。静力学静力学研究物体在力系作用下平衡条件的科学。静力学研究的物体只限于刚体，又称 刚体静力学。刚体物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。它是一个理想化的力学模型。实际物体在力的作用下，都会 产生程度不同的变形。但是，这些微小的变形，对研究物
3、体的平衡问题不起主要作用，可以略去不 计， 这样可使问题 的研究大为简化。力 物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变。实践表明，力对物体的作用效果决定于三个要素。力的三要素：1、力的大小 ，2、力的方向，3、力的作用点。可用一个矢量表示力的三要素：矢量的模力的大小矢量的方向力的方向矢量的始端（或终端）力的作用点常用黑体字母 F 表示力的矢量，普通字母 F 表示力的大小。力的单位： N ，kN力系作用于物体上的一群力。平衡物体相对于惯性参考系（如地面）保持静止或作匀速直线运动。如：桥梁、房屋、机床床身、匀速直线飞行的飞机等。静力学的研究内容：1、 物体的受力分析 。分析某个物
4、体共受几个力，以及每个力的作用位置和方向。2、 力系的简化 。用一个简单力系等效替换一个复杂力系。BAFF03、 建立各种力系的平衡条件，求解平衡问题 。第一章 静力学公理和物体的受力分析教学要求：1、掌握静力学公理及其推理。2、熟悉常见几种约束的性质，掌握 约束力的方向。3、对简单物体系统能熟练地取分离体，画出受力 图。1-1 静力学公理公理是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。公理 1力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对
5、角线确定。合力矢等于这两个分力矢的矢量和。即 FR=F1+F2合力也可用力的三角形确定，两分力首尾相接，合力沿反方向构成封闭边。这个公理表明了最简单力系的简化规律，它是复 杂力系简 化的基础。公理 2二力平衡条件作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。即：F 1= -F2这个公理表明了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件。对变形体是必要条件，并非充分条件。例：链条或绳索，受拉平衡，受压不平衡。由公理 2，若某构件平衡，自重不计，只在两点受力， 则这两个力必等值、反向、共 线。 这类构件称二力构件。例：三铰拱 桥，受力如图，
6、各拱自重不 计，拱 BC 为二力构件。二力平衡与作用力和反作用力的区分（加）公理 3加减平衡力系公理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。AF1F2F1F1F2F2FRFRFRO OAF1F2BA BCPCBFCFB这个公理是研究力系等效变换的重要依据。根据上述公理可以导出下列推理：推理 1力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的 作用线 移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。证明：图中， F2= -F1=F可见，作用于刚体上的力可以沿着作用 线移动， 这种矢量称 为滑动矢量。作用在刚体上的力的三要素是：力的大小、方向、作用线。 （力的三要素是，力的大小
7、，方向，作用点）推理 2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。证明：已知刚体上三个相互平衡的力F1、F 2、F 3，力 F1、F 2 汇交于 O。先将 F1、F 2 移至汇交于 O，合成得合力 F12，则 F3 应与 F12 平衡，这两个力必共线，所以三力 F1、F 2、F 3 必共面，并汇交于点 O。公理 4作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上 。这个公理概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力 总是成对出现的。
8、例如：放在讲台上的书，受重力 P 和 讲台的约束力 FN 作用，书对讲台也有压力 F N 作用，两者是作用和反作用关系，作用力和反作用力用同一字母表示，但其中之一，在字母的右上方加“” 。必须注意，作用力和反作用力分 别作用在两个物体上，因此，不能 认为作用力与反作用力相互平衡。公理 5刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。这个公理提供了把变形体看作刚体模型的条件。静力学全部理论都可以由上述五个公理推证得到。1-2 约束和约束力一、基本概念自由体位移不受限制的物体。如：飞机、小 鸟等。非自由体位移受限制的物体。如：火车、电机转子、挂在钢索上的重物。
9、约束对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。如：铁轨对于火车，轴承对于电机转子，钢索对于重物等。既然约束阻碍着物体的位移，也就是约束能改变物体的运 动状态，所以 约束对物体的作用，实际上就是力。AFBAFBF1 F2 ABF2AF1F2F12BF1F2F3O约束力约束对物体的作用，方向必与该约束所能阻碍的位移方向相反。静力学问题中约束力和物体受的其他已知力（称主动力）组成平衡力系，因此可用平衡条件求出未知的约束力。主动力使物体运动或有运动趋势的力。二、几种常见约束1、具有光滑接触表面的约束例 ：支 持 物 体 的 固 定 面 、啮 合 齿 轮 的 齿 面 、机 床 中 的 导 轨 等 ，当
10、摩 擦 不 计 时 ，都 属 于 这 类 约 束 。这类约束不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面法 线并向约束内部的位移。约束力：作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向被约束的物体，称为法向约束力，通常以 FN 表示。2、柔软的绳索、链条、胶带等这类约束本身只能承受拉力。约束力：作用在接触点，方向沿绳索背离物体，常用 F 或 FT 表示。3、光滑铰链这类约束有向心轴承、圆柱形 铰链和固定铰链支座等。(1) 向心轴承 (径向轴承)轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动，但轴承阻碍着 轴沿径向向外的位移， 轴承对轴 的约束力 FA 作用在接触点 A，且沿公法线指向轴心
11、。但随轴 所受主动力的变化，接触点位置也随之不同， 约束力方向也随之变化，但无论约束力朝向何方，它的作用 线必垂直于轴线 并过轴心。约束力：方向随主动力改变，作用线必垂直于轴线并过轴心。常用过轴心的两个正交分力 FAx、F Ay 表示。(2)圆柱铰链和固定铰链支座图示拱形桥，立体结构图见书 P11，由两个拱形构件通 过圆柱铰链 C 及两个固定铰链支座A、B 连接而成，圆柱铰链简称铰链，固定 铰链支座简称固定 铰支。铰链和固定铰支与轴承具有同样的约束性质。约束力：方向不能预先定出，作用线垂直轴线并过铰链中心。常用大小未知的正交分力表示。AFNABFNBCDE HFNCFNDFNEFNHP PFF
12、FT1FT2FT1FT2A AA BCBC(含销)C(孔)C(孔)C(销钉)C(孔)FCxFCyFCyFCxBA AFAyFAx FBxFByFAxFAyFByFBxFC1xFC1yFC2xFC2yFC1xFC1yFC2xFC2yAFAAFAxFAyFAxFAy4、其它约束(1) 滚动支座在铰链与光滑支承面间，装有几个 滚轴。在桥梁、屋架结构中常见，滚动支座可沿支承面移动，允许由于温度变化而引起结构跨度的自由伸长或缩短。约束力：垂直于支承面，且过铰链中心，常用 FN 表示。(2) 球铰链通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束。约束力：过接触点与球心，但方向不能预先确定。常用三个正交分力表示。
13、(3) 止推轴承止推轴承、角接触球轴承、圆锥辊子轴承等与向心轴承不同，它除了能限制轴的径向位移外，还能限制轴向位移。约束力：有三个正交分量。1-3 物体的受力分析和受力图在工程实际中，为了求出未知的 约束力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此，首先要确定构件受了几个力，每个力的作用位置和方向。这种分析 过程称为物体的受力分析。受力分析的结果要用图形简明地表示，这种图形称受力图 。一、物体的受力分析确定物体受了几个力，每个力的作用位置和方向。作用于物体上的力可分为两类：主动力，例重力、风力等，一般已知；未知的约束力。二、画受力图的步骤1、取研究对象（即取分离体） 把要研究的物体从周围物体中分
14、离出来，单独画出简图。 2、画主动力。 3、画约束力。例 1.1 画出碾子的受力图。用力 F 拉动碾子 以 压 平 路 面 ，重 为 P 的 碾 子 受 到 一 石块的阻碍。解：(1) 取碾子为研究对象，画出简图。(2) 画上主动力 F 和 P。(3) 画上约束力 FNA、F NB。A、B 处 的约束，如不计摩擦，均 为光滑接触面约束，约束力作用在接触点处 ，沿公法 线指向受力物体。例 1.2 画出屋架的受力图。屋架 A 处为固定铰链支座，B 处为滚动支座， 搁在光滑的水平面上。已知屋架自重 P，在屋架的 AC 边上承受了垂直于它的 风力，单位长度上承受的力为 q。解：(1) 取屋架为研究对象
15、，画出简图。(2) 画上主动力 P 和 q。(3) 画上约束力。ABFA BFFNA FNBPBACqPBACqPFNBFAyFAxFAyFAzFAx AAFAx FAyFAzABDCP1P2CDFDFCADBP1P2FDFAxFAyFN例 1.3 如 不 计 杆 CD 的 自 重 ， 试 分 别 画 出 杆 CD 和 梁 AB（ 包 括 电 机 ） 的 受 力 图 。 水 平 梁AB 用 斜 杆 CD 支 撑 ，A、C、D 三 处 均 为 光 滑 铰 链 连 接 均 质 梁 重 P1其 上 放 置 一 重 为 P2的 电 动 机 。解：(1)、首先分析 CD 杆，CD 杆是二力杆。杆 CD
16、自重不计，只在两点受力，所以C、D 点 约束力必等值、反向、共 线，当约束力指向不能事先判定时，可先假定受拉或受 压。(2)、分析 AB 梁受力。梁在 D 点受杆 CD 的约束力，该力与 FD 是作用与反作用关系。例 1.4 试分别画出拱 AC 和 CB 的受力图。如图三 铰拱桥，由左、右两拱 铰接而成。 设各拱自重不计，在拱 AC 上作用有载荷 P。解：(1)首先分析拱 BC 的受力，拱 BC 是二力构件。(2)分 析 AC 的 受 力 。 由 于 自 重 不 计 ，因 此 主 动 力 只 有 载 荷 P。在 铰 链 C 处 受 到 拱 BC 的 约 束 力 作 用 ，根 据 作 用 反 作
17、 用 定 律 ，FC= FC，在 A 处 受 到 固 定 铰 支 给 它 的 约 束 力 作 用 ，可 用 两 个 正 交 分 力 表 示 ，进 一步 分 析 可 知 ，AC 在 三 个 力 作 用 下 平 衡 ，根 据 三 力 平 衡 汇 交 定 理 ，可 确 定 A 处 的 约 束 力 方 向 。例 1.5 试画出绳子 DE、AB、AC 及梯子整个系统的受力图。梯子的两部分 AB 和AC 在点 A 铰接，又在 D、E 两点用水平绳连接。梯子放在光滑的水平面上，若其自重不计，但在 AB 的中点 H 处作用一铅 直载荷 P。画受力图小结：1、明确研究对象，画出简图。可以取单个物体为研究对象，也
18、可以取几个物体组成的系统为研究对象。2、正确确定受力数目。不能多画、漏画。一般先画主动力，再画约束力，每一个力都应明确其施力物。3、正确画出约束力。在研究对象与外界接触处，都应根据约束性质画上相应的约束力。4、分析两个物体间的受力时，注意作用与反作用关系。5、画系统受力图时，只画外力不画内力。6、要能正确判断二力构件约束力的作用线方向。第二章 平面汇交力系与平面力偶系教学要求：1、掌握平面汇交力系合成与平衡的几何法及解析法，能熟练计算力的投影。2、掌握平面力对点之矩的概念和计算，掌握平面力偶的基本特征及平面力偶系的合成与平衡。平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复 杂 力系的基础。本
19、章介 绍这两种力系的合成与平衡问题。2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。A BCPFCBCFBCA FAxFAyPFC CAFAPFCAB CD EPHD EFD FEB DPHAFAxFAyFDFB CEAFAxFAyFEFCAB CD EPH FCFB一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则根据刚体内部力的可传性，将各力移至 汇交点。先将 F1、F2 合成得 FR1，再将 FR1 与 F3 合成得 FR2，最后合成 FR2 与 F4 得合力 FR。FR=FR2+F4=F R 1+F3+F4=F1+F2+F3+F4若平面汇交力
20、系中有更多的力，可 类似进行依次合成。结论：平面汇交力系可简化为一合力，合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即：F R=F1+F2+Fn=F i力多边形法则：平面汇交力系合成时，各分力沿同一方向首尾相接，合力沿反方向构成封闭边。根据矢量相加的交换律，任意 变换各分力的作图次序，可得到形状不同的力多边形，但其合力矢不变。二、平面汇交力系平衡的几何条件由于平面汇交力系可用合力来代替，因此，平面汇交力系平衡的充要条件：该力系的合力等于零。平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭。例 2.1 已知 AC=CB，P =10kN，求铰链 A 的约束力和杆 DC 所受的力。
21、支架的横梁 AB 与斜杆 DC 以铰链 C 相 连，并以 铰链 A、D 连接于铅直墙上。杆 DC 与水平线成 45角，梁和杆的重量忽略不计。解：(1)取 AB 为研究对象，受力分析，所受的三个力应组成一封闭的力三角形。B 处受载 荷 P，C 处受 DC 给它的约束力 Fc，因 DC 为二力杆，故 约束力沿 DC 连线方向，根据三力平衡汇交定理，A 处约束力 FA 与 FC 和 P 汇交于一点。根据平面汇交力系平衡的几何条件，这 三个力应组成一封闭 的力多边形。(2)选取比例尺，作封闭的力三角形。先作已知力 P，再从力的始端和末端作力FA、FC，构成封闭的力三角形，由 这个封闭的力三角形可确定出
22、 FA、FC 的指向。(3)从图上量得长度(或按几何关系计算) ，按比例换算得：FA=22.4kN， FC=28.3kN，由作用反作用关系知， DC 杆受压，压力大小为28.3kN。2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法解析法是通过力矢在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其平衡条件。一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式1、力 F 在 x、y 轴上的投影： Fx=FcosAF1 F2F3F4 F1F2F3F4FRFR1FR2aF2F4 F3F1FRaABOFxFy FFxFyxyijA BCDP45 CDFCFD10NBPA 45FCFA45PFAFC FAFCPFy=Fcos=Fsin 力
23、在某轴上的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹 角的余弦。力在 轴上的投影为代数量。2、力 F 的解析表达式：F=Fx+Fy=Fxi+Fy j二、合力投影定理合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：F Rx=Fx1+Fx2+Fxn =F xi三、平面汇交力系合成的解析法合力在 x、y 轴上的投影：FRx=F xi，F Ry=F yi合力的大小和方向余弦：F R= 222yixiRyxcos（F R，i）= FRx/FR， cos（F R，j）= F Ry/FR例 2.2 求平面汇交力系的合力解：1、投影FRx=F xi=F1cos30-F2cos60-F3cos45+F4
24、cos45=129.3NFRy=F yi=F1cos60+F2cos30-F3cos45-F4cos45=112.3N2、合力 FR=2223.1.9RyxF=171.3Ncos（F R，i）= FRx/FR=129.3/171.3=0.754， =41 cos（F R，j）= FRy/FR=112.3/171.3=0.6556， =49 四、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的充要条件：该力系的合力 FR 等于零。即应有：F R= 22yixi=0要使上式成立，必须：F xi=0， F yi=0上式称平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程) ，这是两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。例
25、 2.3 压榨机自重不计，AB=BC，F=3kN ，h=200mm，l =1500mm。求压块 C对工件与地面的压力。解：1、取 DB 研究，受力分析如图，列平衡方程。F x=0， FBA cos- F BCcos=0F y=0， -F+ FBA sin+ F BCsin=0AB CDFl l ABFABFBABCFBCFCB C xyFCBFCyFCxFBAF DxyFBCBxy200N250N300N100NO454560 30F1F4F3F2xy129.3N112.3NOFRF1F2 F3FRxFx 1 Fx 2 Fx 3FRxsin= 2/lh解得： FBA =FBC=F/2sin=1
26、1.35kN2、取压块 C 研究，受力分析如图。由 BC 杆平衡，知 FCB=FBC。列平衡方程。F x=0， FCB cos- F Cx=0F y =0， -FCBsin+ FCy=0解得：F Cx=11.25kN，F Cy=1.5kN压块 C 对地面的压力为 1.5kN，向下；压块 C 对工件的压力为 11.25kN，向右。2-3 平面力对点之矩的概念及计算力能使刚体的运动状态发生改变（包括移动与转动） ，移动效应可用力矢来度量，转动效应可用力对点之矩来度量。一、力对点之矩(力矩)平面上作用一力 F，对同平面内任一点 O 取矩。O矩心h力臂 点 O 到力的作用 线的垂直距离。MO（ F）=
27、 Fh=2AOAB 平面力对点之矩是代数量，逆为正，顺为负。单位：Nm ，或 kNm若以矢量表示：M O（F） = rF力矩大小：M O（F）= rFsin =2AOAB力矩方向：垂直平面，按右手法则，逆向上，为正，顺向下，为负。二、合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。证：F R=F1+F2+Fn rF R= rF1+ rF2+ rFn M O(FR)=M O(Fi) 证毕。上式适用于任何有合力存在的力系。顺便指出：当平面汇交力系平衡时，F R =0，M O(FR)=M O(Fi) =0，可用力矩方程M O(Fi) =0 代替投影方程求解平衡
28、 问题。例 2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F、l 、B 点坐标(x B、y B)。求(1)力 F 对 A 点之矩；(2)平衡时杆 CD的拉力。解：(1)求力 F 对 A 点之矩MA(F)=MA(Fx)+ MA(Fy)=Fcos yB- Fsin xB(2)求杆 CD 的拉力取 ACB 研究，受力分析如图。列平衡方程。M A(Fi)=0，MA(FA)+ MA(FCD)+ MA(F)=00-FCDl + Fcos yB- Fsin xB=0解得：F CD=( Fcos yB- Fsin xB)/ lB(xB,yB)AC Dxy FFxFyl ACFE FCDFAABFrhOM O(F)AF
29、1 F2FiFnFRro例 2.5 水平梁受按三角形分布的载荷作用，载荷的最大值为 q，梁长 l，求合力作用线的位置。解：(1)合力大小： P=ql/2，合力方向向下。(2)合力作用线位置。由合力矩定理MA(P)=M A(Fi)， dxlqxdqhl002， 32qlhl，得：h=2l/32-4 平面力偶一、力偶与力偶矩实例：汽车司机用双手转动驾驶盘；钳工用丝锥攻螺纹。力偶由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。力偶臂 d两力之间的垂直距离。 力偶作用面力偶所在的平面。力偶矩：M =Fd=2AABC ，代数量，逆为正，顺为负。单位：Nm，或kNm力偶不能合成为一个力，或用一个力来等
30、效替换；力偶也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。二、同平面内力偶的等效定理定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。证：若 M(F0，F 0)= M(F，F)先将 F0，F 0 移至 A、B 点，分解得：F 1、F 2，F 1、F2，M(F0， F0)= -2 AACB ，M( F2，F 2)= -2 AADBA ACB = AADB， M(F 0，F 0)= M(F2，F 2)M(F 2，F 2)= M(F，F)由图：力偶(F 2，F 2)和( F，F)有相等的力偶臂和相同的转向，F 2=F，F 2= F，所以力偶(F 2，F 2)和( F，F)等效，因
31、(F 2，F 2)与(F 0，F 0)等效，所以(F，F)与(F 0，F 0)等效。证毕。推论：1、任一力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。2、只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。力偶矩是力偶作用的唯一度量，力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量。力偶常表示为：A BqPqxx dxhlF1 F2FRFFFR1FR1FR2FR2 同向平行力系可合成为一合力，合力的大小等于各分力大小之和。方向与原力系平行。FFABCFF dA BF0F0F0F0F1 F2F1F2FFC DdFF M M三、平面力偶系的合成和平衡条件1、合成两力偶
32、(F 1，F 1)与( F2，F 2)，M 1=F1d1，M 2= -F2d2取力臂 d，变换两力偶，M 1=F3d，M 2= -F4d合成得(F，F)，F =F=F3-F4合理偶矩：M=Fd=(F 3-F4) d= M1+ M2同平面内的任意个力偶可合成为一合力偶：M=M i2、平面力偶系的平衡条件因为平面力偶系可合成为一合力偶，力偶系平衡 时，其合力偶矩等于零。平面力偶系平衡的充要条件是：所有各分力偶矩的代数和等于零。即：M i=0 平面力偶系的平衡条件(平衡方程)例 2.6 M1=M2=10Nm，M 3=20Nm，l=200mm。求：固定螺柱 A、B 处的约束力。在工件上同时加工三个孔，
33、工件上作用有三力偶。解：(1)取工件研究，受力分析如图。工件在水平面内受三个力偶和 A、B 螺柱的约 束力作用，根据力偶系的合成定理，三个力偶合成为一合力偶，该力偶与 A、B 处约束力构成的力偶平衡。F A=FB(2)列平衡方程M=0， FBl-M1-M2-M3=0 得：F B =FA =200N例 2.7 四杆机构平衡，M1=1Nm，O 1A=0.4m，O 2B=0.6m，求 M2解：(1)取 O1A 研究，受力分析如图，列方程：M =0，-M 1+FAB O1A sin30=0得： FAB =5N(2) 取 O2B 研究，受力分析如图，列方程。由二力杆 AB 平衡，知 FBA=FAB。M
34、=0， M2-FBA O2B=0得：M 2=3Nm第三章 平面任意力系教学要求：1、了 解 平 面 任 意 力 系 向 一 点 简 化 的 方 法 ，掌 握 平 面 任 意 力 系 平 衡 方 程 的 各 种 形 式 。2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或 简单物体系平衡问题的计算方法。3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用 线都分布在同一平F1 F1d1F2 F2d2dF4F3F3F4 FFdA BFAFBM1 M2M3lABO1O230M1M2AO1M1FABFO1BO2M2FBAFO2B AFBA FAB面内，并呈任意分布。
35、当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。3-1 平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。此方法的理论基础是力的平移定理。一、力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点 A 的力 F 平移到任一点 B，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力 F 对新作用点 B 点的矩。证：图中 F=F=F，M=M B(F)反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。力的平移定理可解释一些实际问题，
36、例：攻 丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允许用一只手扳动扳手。因为作用在扳手一端的力 F 与作用在中点的力 F和力偶矩为 M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动， 这个力 F往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。二、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心 O 点简化。先将各力平移至点 O，得：F 1、F 2、F 3、M 1、M 2、M 3，M1= MO(F1)， M2= MO(F2)，M 3= MO(F3)合成得主矢： FR= F1+ F2+ F3= F1+ F2+ F3=F i主矩： MO= M1+ M2+ M3=M O(Fi)一
37、般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力 对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。主矢的解析表达式：F R= FRx+ FRy=F xi+F yj主矢的大小和方向余弦： FR= 22cos(FR，i)=F x /FR，cos(F R，j)= F y/FR三、固定端约束力固定端：一个物体的一端完全固定在另一物体上。例：车刀 夹持在刀架上，工件 夹持在卡ABABABFMFFFFF FMO MOFROF2F1F3OF2F1F3M2M3M1A AFAMAA FAxFAyMA盘上固定不动等。固定端约束 对物
38、体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力为一平面任意力系。将这群力向作用面内 A 点简化得到一个力和一个力偶，一般这个力的大小和方向均为未知量，可用两个未知正交分力代替。因此，在平面力系情况下，固定端 A 处的约束作用力可简化为两个约束力 FAx、F Ay 和一个矩为 MA 的约束力偶。四、平面任意力系的简化结果分析1、简化为一个力偶FR=0，M O0，因力偶对平面内任一点的矩相同，故主矩与简化中心的选择无关2、简化为一合力(1) FR0，M O=0，F R 即为合力，过简化中心 O。(2) FR0，M O0，合力 FR=FR，作用线到 O 点的距离 d=MO/FR，根据主
39、矢和主矩的方向确定合力的作用线在 O 点的哪一侧。M O=M O(Fi)，M O(FR)= FRd=MO M O(FR)=M O(Fi)平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。3、平衡FR=0，M O=0例 3.1 一平面力系：F 1=200N，F 2=100N，F 3=40N，M=300Nm，求(1) 力系向C 点简化的结果；(2) 力系的合力。解：1、向 C 点简化主矢投影：Fx= -F 13/5+F3= -2003/5+40= -80NFy= - F 14/5- F2= -2004/5-100= -260N主矢大小和方向余弦：F
40、 R= 222 608yxF=272Ncos(FR，i)= Fx/FR= -80/272= -0.294， = -107.1主矩：M O=M O(Fi)= F13/52- F24- F31.5-M=-520 Nm2、力系的合力：F R = FR，位于 O 点的右侧，距 O 点的距离：d=MO/FR=520/272=1.91m，OC= d/cos( -90)= d/cos17.1=2m3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系的平衡条件充要条件：F R=0，M O=0应有：F R= 22yxF=0OOMO FR FROOFRFRd OOFRdOF1 F2F3M4m1.5m0.5m3
41、4xyO xyFRMOFRd CMO=M O(Fi) =0二、平衡方程1、一般式 F x=0F y=0 三个方程，可求解三个未知量。M O(F)=0 2、二矩式一般式中的力矩方程矩心的选择是任意的，当矩心不同时可列出不同的力矩方程，但 这些投影和力矩方程中，只有三个是独立的，任何第四个方程只是前三个方程的线性组合。M A(F) =0M B(F) =0 x 轴不得垂直于 A、B 两点的连线。F x=0 3、三矩式 M A(F)=0M B(F)=0 A、B 、C 三点不得共线。M C(F)=0 上述三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题，究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。选择适当的坐标轴
42、和矩心，可减少平衡方程中的未知量的数目，以简化解题。对平面任意力系，坐标轴应与较多未知力相垂直，矩心取在两个未知力的交点上。例 3.2 已知：q=2kN/m ， P=1kN，M=4kNm。求：支座 A、B 处的约束力。解：1、取刚架研究，受力分析如图。2、列平衡方程F x=0 P+FAx=0F y =0 -3q+ FAy+ FNB=0M A(F) =0 -P2-3q1.5-M+ FNB3=03、解方程FAx= - P= -1kN(向左)FNB=5 kNFAy=1kN4、校核。可用另一平衡方程校核，例M B(Fi) =0例 3.3 已知：P 1=20kN，P 2=40kN，求：杆、所受的力。解：
43、1、取梁 ABC 研究，受力分析如图。假设各杆受拉。2、列方程M O1(F) =0，- P2sin302-P2cos304- F36=0M O2(F) =0，F 162+ P 16+ P2sin304+ P2cos302=0F x =0， - F1 cos45+ F2cos45- P2sin30=03、解方程AB FRxPqMA B2m2m4m3m3qFNBFAxFAyA B C 2m 2m 2m 2m45 4530P1 P2A B C30P1 P2F1 F2 F3O1O2得： F1= -31.7kN，F 2= -3.4kN，F 3= -29.8kN。负号表明，三杆均受压。4、校核。可用平衡方
44、程：F y=0 校核。三、平面平行力系的平衡方程平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。若取 x 轴各力，则 F x0平衡方程：F y =0M O(F) =0二矩式： M A(F) =0，M B(F) =0A、B 连线不平行于各力。3-3 物体系的平衡静定和超静定问题一、静定和静不定工程中，由几个物体组成的系 统是很常见的，当物体系平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，对每个受平面任意力系作用的物体，均可列出三个平衡方程。如物体系由n 个物体组成，则共有 3n 个独立方程。如系统中有的物体受平面 汇交力系或平面平行力系作用，则系统的平衡方程数相 应减少。静定问题未知量数=独立平衡方程数
45、，所有未知力都能由平衡方程求出。工程问题中，有时为了提高结 构的刚度和坚固性，常增加多余约束，使未知量数独立平衡方程数，未知量不能全部由平衡方程求出。超静定(或静不定) 问题未知量数独立平衡方程数。在静力学中只讨论静定问题，对静不定问题，须考虑物体因受力而产生的变形，加列补充方程，使方程数等于未知量数。须在材料力学和结构力学中研究。二、物体系的平衡问题在求解静定的物体系的平衡问题时，可以 选每个物体为研究 对象，列出全部平衡方程，然后求解；也可先取整个系统研究，列出平衡方程，因方程中不包含内力，式中未知量较少，解出部分未知量，再从系统中 选取某些物体研究（可为单个物体，或部分物体 组成的系统）
46、，列出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。在选择研究对象和列平衡方程时，应使每个平衡方程中的未知量个数尽可能少，以简化解题。例 3.4 组合梁由 AC 和 CD 在 C 处铰接而成。梁的 A 端插入墙内，B 为滚动支座。已知：F=20kN，q=10kN/m，M=20kNm，l=1m。求：A、B 处的约束力。解：1、取整体研究，受力分析如图，列平衡方程。F x=0， FAx-FBcos60-Fsin30=0 F y =0， FAy-2ql+FBsin60-Fcos30=0M A(F) =0，M A-M-2ql2l+ FBsin603l- Fcos304l=02、取 CBD 研究，受力分析如图，列
47、方程。BCqD30FFBFCxFCy60A BCqDl l l l3060M FFAxFAyFBMAO xy F1F2F3 FnA FAxFAyMAPF1 F2A FAxFAyMAPF1 F2FBBM C(F) =0， - qll/2+ FBsin60l- Fcos302l=03、联立方程求解。FB=45.77 kN，F Ax=32.89kN，F Ay= -2.32kN，M A=10.37kNm本题也可选择物体系的每个物体研究，即分别取 CBD、和 AC 研究，列出 6 个方程，也可求解。但引入了 C 处的约束力两个中间未知量，增加了解 题 的复杂度。例 3.5 齿轮传动机构，齿轮的半径为 r
48、，自重 P1，齿轮的半径为 R=2r，其上固结一半径为 r 的塔轮，轮与共重 P2=2P1。齿轮压力角 =20，被提升的物体重为 P=20P1。求 (1)保持物 C 匀速上升时，作用于轮上力偶的矩M；(2)光滑轴承 A、B 的约束力。解：1、取轮、及重物研究，受力如图，列方程。F x=0， FBx-Fsin20=0F y=0， -P-P2+FBy-Fcos20=0M B(Fi) =0，Pr-F cos20R=0解得：F=10.64 P1，F Bx=3.64P1，F By=32P12、取轮研究，受力如图，列方程。F x=0， FAx+Fsin20=0F y=0， -P1+ Fcos20+FAy-=0M A(F) =0，- Fcos20r+M=0解得：M =10 P1 r，F Ax = -3.64P1，F Ay= -9P13-4 平
