1、以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.,1. 直线与平面垂直,2.直线和平面所成的角,3.二面角的有关概念,4.平面与平面垂直,思考探究垂直于同一平面的两平面是否平行？,提示：垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交.,1.直线a直线b，a平面，则b与的位置关系是 ( )A.b B.b C.b D.b或b ,解析：由垂直和平行的有关性质可知b 或b .,答案：D,2.(文)已知直线a和两个平面，给出下列四个命题：若a，则内的任何直线都与a平行；若a，则内的任何直线都与a垂直；若，则内的任何直线都与平行；若，则内的任何直都与垂直.则其中 ( )A.
2、、为真 B.、为真C.、为真 D.、为真,解析：若a，则内的无数直线都与a平行，但不是任意一条，即不正确；若a，则内的任何直线都与a垂直，即正确；若 ，则内的任何直线都与平行，即正确；若 ，则内有无数条直线都与垂直，但不是任意一条，即不正确. 综上可得、为真，故应选A.,答案：A,(理)在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是 ( ) A.15 B.30 C.45 D.60,解析：如图所示，连结AC交BD 于O点，易证AC平面DD1B1B， 连结B1O，则CB1O即为B1C与 对角面所成的角，设正方体边长为a，则B1C a，CO a，sinCB1O . CB
3、1O30.,答案：B,3.已知直线l平面，直线m平面，有下列命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的命题是 ( )A.与 B.与C.与 D.与,解析：对，l， l ， 又m ，lm，正确； 对， ，l，则l或l ，l不一定与m平行， 错误； 对，lm，l，m， 又m ， ，正确；错误.,答案：D,4.在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC 平面ABC，PC4，M是AB上一个动点，则PM的最小值 为 .,解析：PC平面ABC，CM平面ABC， PCCM，PM 要使PM最小，只需CM最小，此时CMAB， CM 2 ，PM的最小值为2 .,答案：2,5.如图，平面ABC平面BDC，BACB
4、DC90，且 ABACa，则AD .,解析：取BC中点E，连结ED、AE， ABAC，AEBC. 平面ABC平面BDC， AE平面BCD. AEED. 在RtABC和RtBCD中， AEED BC a， AD a.,答案：a,1.证明直线和平面垂直的常用方法： (1)利用判定定理. (2)利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab). (3)利用面面平行的性质(a，a). (4)利用面面垂直的性质.当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线， 常用来证明线线垂直.,2.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的 判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直 的相互转化，即线线垂直线面
5、垂直线线平行线 面平行.,(2009福建高考改编)如图， 平行四边形ABCD中，DAB60， AB2，AD4.将CBD沿BD折起 到EBD的位置，使平面EBD平 面ABD. 求证：ABDE.,思路点拨,课堂笔记 证明：在ABD中， AB2，AD4，DAB60， BD 2 . AB2BD2AD2，ABBD. 又平面EBD平面ABD， 平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD， AB平面EBD. DE平面EBD，ABDE.,本例中，ED与平面ABD垂直吗？,解：由例1知，ABBD， CDAB，CDBD，从而DEBD. 又平面EBD平面ABD，ED平面EBD， ED平面ABD.,1.证明平面与平面垂
6、直的方法主要有： (1)利用定义证明.只需判定两平面所成的二面角为直二面角 即可. (2)利用判定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能 是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边， 勾股定理等结论.,2.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆.,(2009江苏高考)如图，在 三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别 是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上， A1DB1C.求证： (1)EF平面ABC； (2)平面A1FD平面BB1C1C.,思路点拨,课堂笔记 (1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点， 所以EFBC， 又EF平面ABC，BC平面ABC. 所以EF平面ABC. (2)因
7、为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱， 所以BB1平面A1B1C1， 所以BB1A1D，,又A1DB1C，B1CBB1B1. 所以A1D平面BB1C1C， 又A1D平面A1FD， 所以平面A1FD平面BB1C1C.,两个平面垂直的性质定理，可以作为直线和平面垂直的判定定理，当条件中有两个平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线.,如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD平面BCD，如图.,(1)求证：平面PBC平面PDC； (2)在折叠前的四边形ABCD中，作AEBD于E，过E作EFBC
8、于F，求折起后的图形中PFE的正切值.,思路点拨,课堂笔记 (1)证明：折叠前，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BAD90， 所以ABD为等腰直角三角形.又因为BCD45，所以BDC90. 折叠后，因为面PBD面BCD， CDBD，所以CD面PBD. 又因为PB 面PBD，所以CDPB. 又因为PBPD，PDCDD，所以PB面PDC. 又PB面PBC，故平面PBC平面PDC.,(2)AEBD，EFBC，折叠后的位置关系不变， 所以PEBD. 又面PBD面BCD，所以PE面BCD， 所以PEEF. 设ABADa，则BD a，所以PE aBE. 在RtBEF中， EFBEsin45 a a
9、. 在RtPFE中，tanPFE .,高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一，有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查.求这两种空间角的步骤： 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)认(指) 求.,在客观题中，也可用射影法： 设斜线段AB在平面内的射影为AB，AB与所成角为，则cos . 设ABC在平面内的射影三角形为ABC，平面ABC与所成角为，则cos .,(2010安阳模拟)三棱锥P ABC中，PC、AC、BC两两垂直， BCPC1，AC2，E、F、G分 别是AB、AC、AP的中点. (1)证明：平面GFE平面PCB； (
10、2)求二面角BAPC的正切值.,思路点拨,课堂笔记 (1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点， 所以EFBC，GFCP. 因为EF，GF平面PCB. 所以EF平面PCB，GF平面PCB. 又EFGFF， 所以平面GFE平面PCB.,(2)BCPC，BCCA，且PCACC， BC平面PAC. 过点C作CHPA于H点， 连结HB，则易证HBPA， BHC即为二面角BAPC的平面角. 在RtACP中，AP ，HC (等积). tanBHC .,近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中
11、结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向.,考题印证(2009浙江高考)(12分)如图， 平面PAC平面ABC，ABC是 以AC为斜边的等腰直角三角形， E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA、OB的距离.,【证明】 (1)如图，取PE的 中点为H，连结HG、HF.(1分) 因为点E，O，G，H分别是PA， AC，OC，PE的中点， (2分)所以HGOE，HFEB.因此平面FGH平面BOE.因为FG在平面FGH内，所以FG平面BOE.(4分)
12、,(2)在平面OAP内，过点P作 PNOE，交OA于点N，交OE于 点Q.连结BN，过点F作FMPN， 交BN于点M.(5分)下证FM平面BOE.由题意，得OB平面PAC，所以OBPN， 又因为PNOE，所以PN平面BOE. 因此FM平面BOE.(7分),在RtOAP中， OE PA5，PQ ， cosNPO ， ONOPtanNPO OA， 所以点N在线段OA上.(9分) 因为F是PB的中点，所以M是BN的中点.(10分) 因此点M在AOB内，点M到OA，OB的距离分别为 OB4， ON .(12分),自主体验如图所示，已知长方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为 线段A
13、D1的中点，F为线段BD1的中点.(1)求证：EF平面ABCD；(2)设M为线段C1C的中点，当 的比值为多少时，DF平面D1MB，并说明理由,解：(1)证明：E、F分别是 AD1和BD1的中点， EFAB，又EF平面ABCD， AB平面ABCD， EF平面ABCD.,(2)设 (0)，ADa， 则DD1a，连结MF. 若DF平面D1MB， 则有DFD1B，DFFM.,在RtBDD1中， DF . 又F、M分别是BD1，CC1的中点，易证FM a， 又DM a，,在RtDFM中，DF2FM2DM2， 即 ， 解得22， ， 即当 时，DF平面D1MB.,1.(2010三亚模拟)若两直线a与b异
14、面，则过a且与b垂直的 平面 ( )A.有且只有一个 B.至多有一个C.有无数多个 D.一定不存在,解析：当ab时，存在一个过a且与b垂直的平面；若a与b不垂直，则不存在这样的平面.,答案：B,2.下列三个命题，其中正确命题的个数为 ( )平面平面，平面平面，则；平面平面，平面平面，则；平面平面，平面平面，则.A.1 B.2C.3 D.0,解析：正确；正确；错误.,答案：B,3.已知直线a，b和平面，且a，b ，那么 是ab的 ( )A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,解析：若 ，由a则容易推出a 或a ，而b，于是ab；若ab，则容易推出 ，
15、故 是ab的充分必要条件.,答案：C,4.正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中 点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P 的轨迹的周长为 ( ),解析：依题意知，动点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，容易求得，EF BD ，GEGF SB ， 所以轨迹的周长为 .,答案：C,5.正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的 点，若B1MN是直角，则C1MN .,解析：如图所示，由正方体性质可知B1C1MN，又MB1MN， MN平面MB1C1. C1M平面MB1C1， C1MMN， 即C1MN90,答案：90,6.(2010苏北三市联考)如图，
16、在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点.求证：(1)MN平面ABCD；(2)MN平面B1BG.,证明：(1)取CD的中点记为E， 连NE，AE. 由N，E分别为CD1与CD的中点可得 NED1D且NE D1D， 又AMD1D且AM D1D 所以AMEN且AMEN，即四边形AMNE为平行四边形， 所以MNAE， 又AE面ABCD，所以MN面ABCD.,(2)由AGDE，BAGADE90，DAAB 可得EDA与GAB全等. 所以ABGDAE， 又DAEAED90，AEDBAF， 所以BAFABG90， 所以AEBG， 又BB1AE，所以AE面B1BG， 又MNAE，所以MN平面B1BG.,
