1、1偏微分方程偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为 Navier-Stokes 方程组，而在不计流体的粘性时，称为 Euler 方程组。在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为 Saint Venant 方程组。到了十九、二十世纪，人们发现了描述电
2、磁场运动规律的Maxwell 方程组，描述微观粒子运动规律的 Schrodinger 方程及 Dirac 方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程 Einstein 方程以及基本粒子规范场理论的基本方程 Yang-Mills 方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。偏微分
3、方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。通常考虑以下问题1对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。2解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。3解的正则性或光滑性。是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？4解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。5定解区域与影响区域。6解的间断线、激波线和激波面。7极值原理。8其它性质。9解如何逼近？如何计算？这属于微分方程与计算数学的边缘分支。偏微分方程研究的重点
4、是解的存在唯一性和正则性，这是最基本的内容。从偏微分方程的发展来看，最初人们试图用研究常微分方程的一套方法来研究偏微分方程。简单2的常微分方程总能通过积分来求得通解，复杂一些的常微分方程虽然不能简易地求得通解，但通解总是存在的。对于带有初、边值条件的特解，可把条件代入通解中，决定出通解中任意常数而得到。上述方法能否搬到偏微分方程的求解过程中去。简单的偏微分方程可以求得通解，如 的通0xyu解为 ， 为任意函数。用这样的通解来定出满足初、边值条件的特解还()()uFxyG, F是比较便于应用的。一阶偏微分方程能套用常微分方程求通解再定特解的方法。线性一阶方程用特征线解法，非线性一阶方程用特征带解
5、法以及 Hamilton-Jacobi 方法, 所以一阶偏微分方程的解法，常附在常微分方程的最后。高阶方程开始也是按通解的想法研究。代表性的成果是 Cauchy-Kovaleskaya 定理，就二阶方程 01(,),yxyxyyuFux来说结果是：当 均为解析函数时，这个问题有一解析解。这是一个类似于通解的解，结果01, F是十分一般的，但用处不大。以后发展到分型研究，我们主要介绍典型的二阶方程，即椭圆、双曲、抛物型线方程，这方面的研究是很深入的，可以说是已经基本成熟了。设自变量为 ，未知函数为12,()nx，则关于 的偏微分方程的一般形式是12(,)nux u1(,)0NnFxuD 其中 是
6、其变元的已知函数， 简记 的一阶偏导数F，1(,)nx而一般地 简记 的 阶偏导数(2,)kDuN uk为整数）1121(,0nk nnk kkx 在偏微分方程中所含未知函数 的偏导数的最高阶数，称为偏微分方程的阶。如果在一个偏微分方程（组）中，所有的未知函数及其一切偏导数都是线性地出现的，则称这个偏微分方程（组）为线性偏微分方程（组） ，否则称为非线性偏微分方程（组） 。如果所考察的非线性偏微分方程（组）对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的，则称其为拟线性偏微分方程（组） 。对于拟线性方程（组） ，其含有未知函数的一切最高阶偏导数的部分，即主部，除了可能依赖于自变量外，还可能依赖于未知函数及
7、其较低阶的偏导数。特别，若这些系数只是自变数的函数，而和未知函数及其偏导数无关，则称此偏微分方程（组）为半线性偏微分方程（组） 。对二阶线性偏微分方程32,11nnij iijuabcufxx其中 ， 及 是 维空间 的某区域 中的函数，,(1,)ijab cf2(,)n 不同时为零，且不失一般性可设 . 引入二次型ijn ijjia,1()ijiQ若在区域 中的一点 ，二次型 为正定或负定，则称方程在 点为椭圆型；若二次01(,)npx p型 在 点为退化，且其特征值只有一个为零，而其余特征值有同一符号，则称方程在 点为抛()Q物型；若二次型 在 点不退化，又不为正定或负定，且有 个特征值具
8、有同一符号，则称方) 1n程在 点为双曲型。还可能出现更复杂的情况。二次型 在 点既不退化，又不正定或负定，而p ()正、负特征值的个数都不止一个，这时方程称为在 点为超双曲型；二次型 在 点退化，但有p()Qp好几个特征值为零，而其余的特征值同号，这时方程在 点为超抛物型。如果考察整个区域 ，就有：（1）若在 中的每一点，方程都是双曲型，称方程在区域 中为双曲型。 （2）若在 中的每一点，方程都是抛物型，就称方程在区域 中为抛物型。 （3）若在 中的每一点方程都是椭圆型，就称在 中方程为椭圆型。 （4）若在 中的一部分区域方程为双曲型，在另一部分区域上方程为椭圆型，在区域的分界线上，方程为抛
9、物型，这种类型的方程称为混合型方程。例如 220 ()uatx2 20uxy在平面区域 上分别为双曲型、抛物型、椭圆型方程。而 Tricomi 方程2u在上半平面 为椭圆型，在下半平面 为双曲型，而在 为抛物型，它在整个平面上就是0y0y0y一个混合型方程。分型研究在偏微分方程研究上是进了一步。研究偏微分方程的方法是很多的，例如1位势论2积分方程法3变分法4差分法45闸函数法6上、下解的方法7连续延拓法8泛函方法我们不可能介绍所有的方法，只能侧重于主观上认为重要的部分。在偏微分方程分型研究后发现了无解方程，在偏微分方程的基础理论上，又跨进了一步。偏微分方程的通解是难求的，但长期以来，对各类偏微
10、分方程求若干特解是并不困难的，因此，在一段时期里人们相信，除了属于无意义的情况，如 无实解外，每一偏微分方程有一大类解是不210xyu成问题的，特别是相信一般线性方程 |()()maDfx其中 ，总有一大类解。但是，事实并非1| 112, | , ,nnnDx 如此，例如22 22 21exp(), 0;()()4 .tyxyutxtt 没有任何实解，不仅没有古典解，也没有任何强解和弱解，参见：1L. Hrmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963.2M. Schechter, Modern Meth
11、ods in Partial Differential Equations, Mcgraw-Hill, 1977.3陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，1991.4D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983.第一章 线性椭圆方程的 Schauder 理论我们讨论 Dirichlet 问题（1.1）() |nLufxR于 有 界 区 域古典解的存在性，其中 为线性椭圆算子L()()()ijijiiu
12、axDbcxu这里先用下面的定理来引出要做的主要事情。5定理 1.1（连续性方法）设 是 Banach 空间， 是线性赋范空间， 和 是 的有界线BV0L1VB性算子，对于 ，令0,1t01()tLt如果存在常数 使得对于 成立c,t tVucuBB则 为满射的充要条件是 为满射1:LVB0:证明：只须证明：存在常数 ，使对任意 ，只要 是满射，则对0,1ssL， 是满射。,0,1tstL假设对某 ， 是满射的，由 知 是单射的，于是 是双射，存在逆映s sVucBss射 。要证对 以下方程有解 ：1:sLVvVtLv此方程等价于 01()()()sstLuvutsutsL等价于 110sst
13、LT而 112 012|sTut u可见当 10|tcL则 在 是满射的。证毕tL,0,1s设在（1.1） 如取 ，并考虑L（1.2） |0uf于而取 为（1.1）中方程左端的算子，则从定理 1.1，为建立问题（1.1）的可解性，需要1L1适当地选取空间 和BV2对 建立先验估计t , tVucLuB3证明 为满射，即建立 Poisson 方程 Dirichlet 问题（1.2）的可解性。0:我们适当选取的空间 和 实际上都属于所谓的 Hlder 空间。定义 1.1 引入半范0,|sup|()|ux6,|()|sup, 01xyy如 ，则称 在 上具有指数为 的 Hlder 连续性， 称为 的
14、 Hlder 系数。,u,u为多重指标1, 0,| (,)nmD, ,|u定义 1.2 对非负整数 和实数 ，引入以下空间k(,0():|kk mC, ,|kkkuu一般记 ， . 显然 和 都是 Banach 空间，并且0()()()C()kC,()k。,1kkk定义 1.3（1）称 21(), 0)|nxxn为 Laplace 方程 的基本解，其中 是 ，内单位球的体积。0u, 3R（2）设 是有界可积的，则f ()()uxyfd称为 的 Newton 位势。f有关 的事实为（1） 1(), 0|i ixnx（2） 2, |ij ijijx nnx（3） ()0, 定理 1.2（1）若 在
15、 内连续， 分片光滑，则 且f1()uxC()(), 2, i ixxuyfdinx（2）若 在 内是 Hlder 连续的（指数为 ， ） ，则 且()f 02()u()()()cos,)ij ij ixx xjffyvd 这里 分片光滑， 为 的外法线方向。v（3）在（2）的条件下 满足()u7(), uxf证明（1） ，积分 收敛，其中 为包含原点的有界区域。这样 在 连续时，pn1|pd f一致收敛，这样有()ixyfd ()()i ixxuyfd（2）取 ，记 ，因lj:|llyy 0()im()ii xDf我们形式地有（1.3）0()li()()iij jxuxyfdx 为了使（1.
16、3）式确实成立。只须证明积分 对 是局部一致收敛的。对) ()()()ij ijx xyfdfy :|)cos(,)ij il jyxx vyd 12积分 是一致收敛的，因为1 |()()ijx ncfyxyfx积分 无奇性，因为 ， ，从而（1.3）式确实成立，这样2()()()()()cos(,)ij ij ixx xjufdyfvyd (3) 因为()()()()()(,)ixiyff 上式左端第一项为零。为计算第二项中的曲面积分，注意 () ()0)()cos(,)cos(,)i iyyi yiBx Bxdxvydvyd 而在球面上 ()(,)1iyiBx所以 )(ufx定理 1.3（
17、内部估计）设 ， ， ， ， 是 的01(Rx02R2()fCB01()uxfNewton 位势，则 ，且2,()uCB81 222, 0,(,)BBuCnRff证明：对 ，设 ，则只须证1,x|x220,|()(),)(ijij BDff取 则由定理 1.2 有2() ()()()()()ij ijijij x xB Buxyfxydyfxyd 2 2() ()ij ij ijxB 2()cos(,)()cos(,i i ixj xjBfyvf v 61kI下面分别估计各个积分 , 1,26kI 221 ,() ()| |nnBBBxCfCfdydyfx 类似可得 22,|If对于 ，由中值
18、定理，知在 与 的连续上有 使3Ixx23 1()| nBfyICd 注意 ，故 ， ，于是()yB1|xy3|xy3 1/()|nnRBIf Cf 对于 ，由分部积分可得4I 24 ()|)|i ix xBBIfydsyds 而当 时，因 ，故 ；当 时，因 ，故 ，于是2yB1x|y1|22411| nnBBCIfssCfR 类似可得 6|If对 ，注意由中值定理，在 与 之间存在 使5Ixx250|()|ixBIf yds9而当 ， 时 ，这样2yB1x|yR2 2050 0|1| |()|nnBBfICfdsCdsCfxyRR 定理 1.4（靠边估计）设 ， ， ， ，01()R2()
19、nxn2()fxCB为 的 Newton 位势，则 且01, ()uxf ,1u1222, 0,BBff证明与定理 1.3 相仿，首先，当 时，由定理 1.2 有ijn1x2 2:0()()()()()cos(,)ij inijx xjBDyfxdyf yvd 为此注意 2 2()cos(,)()cs(,)i jxjxiBvyv :0s, inxkBydk 然后，仿定理 1.3 的证明，可以估计出 . 最后，利用方程 和上面所得的, kDunuf的估计，便可估计出 ()kDunn下面我们来推导解的先验估计，即得出所谓 Schauder 估计。我们按如下步骤来做：1对 Poisson 方程具紧支
20、集的解：利用 Newton 位势。2对常系数方程具紧支集的解：利用用坐标变换3对变系数方程具小支集解：利用摄动方法4对变系数方程解，去掉小支集限制：引进内部范数。定理 1.5 设 满足 于 ，则2,0()RuCBufRB2, 0,() (,)RBcfcn证明：由定理 1.2，取 ，且将 零延拓到 之外，有()()( ()n nRRxxydyuxdyuxdy2)nRBf f再由定理 1.3 便得求证.定理 1.6 设常系数 满足(,1,)ijjian，22| |ijanR其中常数 。若 满足方程0,0RuCB（1.4）0()ijLuDfx则102, 0,() (,)RRRBBucffcn证明：不
21、妨设 。令 ， 为待定的常矩阵，则（1.4）化为0xyTx于 （1.5）A20ijjuLafyRB其中 为包含 的球， （可取 ） ， ， ，都零延拓到 上，RBRT1R1()T1()yfTRB而 ， . 选择满秩矩阵 ，使 （单位矩阵） ，则（1.5）化为 PoissonA()ija()ijaI方程，从而由定理 1.5 得出 在 坐标下的估计，其中 ，再回到 坐标系，便得求证。uy(,)cnx现在考虑一般的线性方程，于()()()ijijiiLuxDbcxf假设其系数满足如下条件：（E1）方程是一致椭圆的，即 且存在常数 使()ijjia,0， ，22| |xxnR（E2） ， 为已知常数,
22、 ,1, 1| | (,1)ijiijninabc引理 1.7 若 ，则()uvC00|uvuv引理 1.8（内插不等式）设 ，则存在 ，使对2,() ()Bx0(,)n都有0(,2() ()2(), 2, 0(,)|kk kkuucnu 其中 或, 1 证明：仅就两种情形来证，其余类似.1）当 时2,0k对任意 和任意 ，存在 ，使得 。由于yB(,xB()yxB()()cos,i iBxDudvd按积分中值定理，有 ，使x0|()|inyu但 |()|()()|()|iiiiDuDy0|nyu11故 11,0(), 1ucnu同理可得 22,1(),取 ，由上面可得, 1 2122, 0(
23、)()|ucnuu取 使 ，由上式得()nc22,02, 021()|)(,)|)cn,|cu设 ，取 ， ，则,(01k0()cn0k222, 0(,)|cnuu2）当 时, k对 ， 使 ，那么对 得：若xB0, xB()xByB，则2()y110|()|(3)uyDuyu若 ，则2()x 0|()|2xy总之 10, 0(3)uu再从 1）中用 和 估计出 ，代入上式，仿 1）处理，使得求证。2,u01注：将 换成 ，引理 1.8 仍然成立。B():nxx定理 1.9 设方程（1.1）满足（E1） （E2） ，那么存在 ，使得当 ，若0, RC0R满足（1.1） ， ，则2,0()RC0
24、RB(2)2, , 0,(|RRRBBucffu其中 依赖于 和 .0, n12证明利用摄动法，记00()ijijLuaxDf()()()ijijijiifaxubxDcu由定理 1.6 A2, 00|)cRfRfR其中 ，下面按 的表达式来估计 中的各项。由引理 1.7 和 1.8，当 时，(,)cnf 010 00()()(|ijijijijijijijijijaxDuxaxuaxDu 2,22, , 0,)|RcnR22, 0(1)()|u0 20 , 0|()|(,)|)ijijijRax uu 11(111, 2, 0),|ibDucc ()0,(RnR11012, 0,|i uu0
25、,| ()|c cu00|()|Rx其中，取 ，综合以上我们便得1 (2)2, 0(,)(,|cnRucnR再延取 满足 ，便得求证。001(,)2cn现在考虑（1.1）的一般解 ,() RuCB为利用前面关于具紧支集解的结果，自然想到使用切断因子，取 ，0()RxCB， 于 ， 。令 满足()1x()2R()kk2,0,vu.ijiijjLvuaDbaDf由定理 1.9 知当 时0(2)002,(|RBcfRv利用引理 1.7 和 1.8 可得 (2)2, 0,2, 0,(| |RRRRRBBBBvffucu 从而只能得到（1.6）2 (2), 0,2, 0,|RRRRRucff 13这就出
26、现了麻烦，两端最高阶半范 所在区域不同，无法使用 来消去右端的 。为克服此2,u2,u困难，引进内部范数定义 1.4（内部范数） 。记 ，令:(,)RxdistR0 0 0 * 222,0, 0, 0, , ,|sp()up)sp()R Ri ij ijkRi ij ijuDDD 0 0 220, , ,|sp(|)uRRfff其中 来自定理 1.9容易看出，当 时， 的导数仍有可能在 附近无界. 而当 时，甚至 *2,|u0,|f本身在 附近也可以无界，所以用内部范数只能得到内部估计。f定理 1.10 设方程（1.1）满足（E1） （E2） ，如果 为（1.1）之解，则2,()uC *2,0
27、,0,|(|),)cfcn 证明：对 ， 由（1.6）得0(,)R2Ry22 2, 0,(),(),()0,()|RRRBByByByByuffucu 22, , , 0,( |R Rc*0, 0,|()|fucu由此，由引理 1.8，对 ， ，有)2Ry2 22110,(,()0,()RRRiBByByDCu*0, ,|Cfu2 2220,(),()0,()RRRijByByByu*0, ,|fcu于是（1.7）2 22 *0, 0, 0, 2, 0,0,|sup()sup()(|()|R Ri iji ijDDfcu为对 估计出 ，考虑 ，那么当 时()R2,Rijxy|Rxy22 *,(
28、)0,2, 0,|()|()| Rijij Byxyucfucu 而当 时|xy22 21 *0,0,2, 0,()()|(|()| Rijij ijDuxyRDucfucu 总之有14（1.8）2 *,20,2, 0, 0()(|()| (,)ijRDucfucuR这样由（1.7）和（1.8）得 * *2,0,2, 0,|f选择 使 ，便得求证。12c下面进行全局 Schander 估计，记 . 设 ，否则属于内估计的00(), nnRBxRRB情形。定理 1.11 设 在 附近和 上， ，且于 内满足 ，则2,()RuCnuuf, 0,(|) (,)RRBBffCn证明：我们仍然希望模仿定
29、理 1.3 中的方法，把问题转化为 Newton 位势的估计。为此，先把和 零延拓到 上，再考虑 的奇延拓，即记 ，令ufn()ux11(,)(,)nnxx(,) 0,nnnu当当则 ，这里 。由定理 1.21, 2044(,)()():0nRRxCBxx:nx2() ()()n iixRuyudydDyud()(n n ni ii iRRi iDDu2() ()n n RyBxiixyxyf 其中 为 的奇延拓()fyf (,) 0)nnffyy当当注意到 甚至不可能在 内连续，所以不能应用位势估计和定理 1.3，这里的技巧是先引进()fy2(RBx的偶延拓 A(,) 0)nnfyf y当
30、当显然 且A04()()RfyCx4,(),2RRBxBff这样因为 当 ， 当 有A2()()ffy0ny()y0ny4 4 4() () ()()R R RBx Bx xfdfdyfd()()u15利用定理 1.3 和 1.4，便得到 的估计，从而也就估计出了 .()ux ()ux定理 1.12 设常系数 满足,1,)ijjian22| | nijaR其中 是常数，设 且在 附近和 处 。如果 满足方程0,(RCBR:0xu于 中0ijLuDfRB则 2, 0,(|) (,)RRRBBuffcn证明与定理 1.6 相仿，还是先用自变量的非奇异变换将方程化为 Poisson 方程，为了使用定
31、理1.11 的结果，只须再做一次旋转变换，把区域变为 ，而 Laplace 算子在旋转变换下不变。定理 1.13 设方程（1.1）满足（E1） （E2） ，那么存在 ， ，使得当 时，如果0C0R（1.1）的解 ，并且在 附近和 处， ，只要 则2,()RuCBRnxuB(2)2, 0, 0,(|RRRBCff其中 与 都是仅依赖于 和 的常数。0Rn证明：可将定理 1.9 的证明逐字照抄，只要把 改成 即可。下面考虑特殊形状的区域 ，且 ，记:nnxnS(,)distS 我们有定理 1.14 设方程（1.1）满足（E1） （E2） ，其在 内的解2,() |0suCu那么对 其中 来自定理
32、1.13，都有0(,)R02, ,0,|(|) (,ucfucn证明与定义 1.4 相仿引进 ，只要将那里的 用这里的 代替。仿照定理 *,| 1.10 之证明，但须用 代替 ，可得()By()By *2, ,0,|)cf由此易得所求。定理 1.14 表明，对于这种具有一部分平的边界的区域，已经可以得到直到这部分平的边界上的靠边估计，为了对一般区域，也得到靠边估计，只须假设其边界可以局部拉平，为此引进定义 1.5 称一区域 属于 为整数， ，如果对 ，都存在球, 0kC0,10x和单射 满足0()Bx0:()nyBxR1 为开集，D()x2 00,()nnSBR163 ,01,(),()kkC
33、BxCD利用此概念，边界上每点 ，找到相应的 和 ，使 变到 中的区域00()Bx0()BxnR，使用定理 1.14 得出靠边估计，再回到原坐标系下，即得到 点附近的靠边 边界nDR 的估计，即 Schauder 边界局部估计，确切地说，我们有定理 1.15 设 的系数满足（E1） （E2） ， . 如果（1.1）之解 满足 ，L2,2,()uC|0u则对 ，存在常数 和 使得0x,0C(,1)k002,(),(),()| |BxBxBxufk其中 .(,) , cn证明考虑任意固定的 ，由定义 1.5，存在 和 ，使得对某常数 有0,Dk010,1()|Bxkk从而 0|kyx20 0/()
34、()()kxB0 0/,()0,()|kkBxww且 0 02/,(), ,()|kkxBBx我们设 充分大，满足k012,2,()|, |DBx则 0 02/1 2,()2, 2,()()|()|kkxBBxCwCw 设在变换 之下，方程（1.1）化为:nyx， （1.9）rsryyaubcuf nyR其中 AA211, () ()sr rrrsij rijij jabfyxx显然 22| | nrskakR即方程（1.9）仍然是一致椭圆的。由定理 1.14 得17/2/ /, 0,0,|(|) (,)kkkBBBucfucnxk 再回到变量 ，有x0 004/2,(),(),()| |kx
35、xBxCfu根据定理 1.15 对 做有限覆盖，再结合内部 Schauder 估计，就得出全局 Schauder 估计。定理 1.16 设 的系数满足（E1） （E2） ， ，如果（1.1）之解 满足 ，L2,2,()C|0u则 2, ,0,|(|) (,ucfucn上面的定理是关于齐次边界条件解的结论，对于问题（1.1）之解的全局 Schauder 估计我们有：在定理 1.16 条件下，如将 满足 改为 ， ，令 可得|2,)vu2, ,2,0,|() (,)cf c如果仅知 ，则在 的条件下， 可延拓成 函数。为了去掉全局,()CC2,CSchauder 估计中的 项，我们下面讨论解的极值
36、原理。0,|u定理 1.17（弱极值原理）设（1.1）中的 系数满足（E1） ， 为有界函数， 。如果Lib0c满足 ，那么 在 上的最大值（最小值）必在 上达到，即2()u (0)Lusp (inf)u证明：不难看出，如果在 中 ，则 不能在 的内点取到其在 上的最大值。因为在这样的点 上， ，矩阵 半负定。但由于（E1） ，矩阵 正定，0x0()Du200()()ijxD0()ijax因此 ，这与 矛盾。()ijijLaxLu由假设 为常数，于是因为 ，故有一个充分大的常数 使得0|b1aN1 1 1220()()NxNxxebebe因此对任何 ，在 中都有 由前述即得10xLu1spsu
37、pNx令 ，便得求证。0更一般的，我们假设在 中 ，考虑子集 . 易见若在 中 ，()0cx1:()0u0Lu则在 中 . 因此 在 上的最大值必在 上达到，从而在 上10ijiLuaDbuu1达到。于是，记 ，我们有m,in,推论 1.1 设在（1.1）中算子 满足（E1） ， 为有界函数， . 如果 满Lib()cx2()C足 ，那么 ()sup (ifnu18推论 1.2（唯一性定理（比较定理） ）如果（1.1）中的算子 满足：在 上，矩阵 的最小L()ijax特征值有正的下界， 有界， ，那么对 满足 于|()|ibx()0cx2,()uvCLuv，且在 上 有 在 上。 uv uv只
38、须注意在这里的条件下推论 1.1 的结论仍然成立。定理 1.8（先验的界）设 的系数满足（E1） ， 有界， . 如果 满L()ibx()0c2()C足 ，则 ()Lf| |supsup (s|up|s)f fc其中常数 仅依赖于 的直径和 .c 0,|()|iibx证明设 位于条形区域 中，并令 . 对于是 ，有10dijiLaDb01Nb1 1220()()NxNxxLeaee设 1|sup()supxdfv那么，注意 ，0|fLvc于|()(sup)0fLv并且在 上 . 因此，对于 和 ，对 的情形我们得到所要的结果：vu1NdcebLuf|supsupfvc用 代替 ，就得到 的情形
39、。uLf推论 1.3 设 满足（E1） （E2）且 ， ，如果 满足（1.1） ，则()0cx2,C2,()u2, ,2,|) (fcn下面我们开始讨论连续延拓法所需要的最后一项，即 Poisson 方程 Dirichlet 问题的唯一可解性，这里只考虑 为球形域的情形，记 。()RB定义 1.6 设 为 Laplace 方程的基本解，记()|x 22|(|) 0|,()| yRxyxygyx当当函数19(,)(|)(,)Gxygxy称为 Laplace 算子关于球 的 Green 函数。RB定理 1.19（Green 函数性质）函数 关于 或 都在 内调和. 因此 在 内当,gRB(,)Gx
40、yRB时调和，当 时， 是无穷次连续可微函数，并且xyxy(,)x，,|0RxByy且0(|) ,RGxy,(G定理 1.20 设函数 ，置()RfCB(,)RBuxyfd则 且满足2()RuCB |0RRBf于 内由唯一性定理，这个解是唯一的证明： 可改写为()ux 12()(,)()R RBBxyfdgxyfdux于是由定理 1.2， 且 。由定理 1.19 . 可见 满足方程。2C1(u20为了证明 且满足边界条件，我们只须证明对 有 当 。()ux RB|()|00x为此，对 有00 0 12() (),(),()R RBx BxGyfdGyfdI 对 ，由定理 1.19 当 时020
41、 2 22 0 0() ()|()|)|)|Bx BxIfyfycf 当 时。由定理 1.19 知 时，函数 关于 连续进而00|cfR(,2()xB使当 时(,1)k0|2kx110|(,)|()2nGxyf于是 ，当 时，这就证明了问题。1|()|Ix0|kx定理 1.21（Poisson 公式）如果调和函数 ，则2()RuCB202(,)|()() |R Ry ynB BnGxxuuxudSdS 其中 为 的外法线方向， 为单位球的体积。RBn证明对 成立 Green 第二公式21,()vwC()()wvvwdxdS只要 分片光滑，此处 为 的外法线方向。由逼近论证，只须证明 的情形。
42、21()()RuCB对 . 在上式中取 得, 0RxB(), ()RvxyBx() ()RxB wwdywdSdS 此处 分别为 的外法线方向。注意, R当11() () ()0nBxBxS 当1() () () nx xBxwdwdwdSx 由上面三式，取 ，有u()()RByuu再在 Green 第二公式中取 ，有, ,) Rvgx(,0(,)RBgxydS将上二式相减，得 (,)()RyBGux按 的定义，算出 ，代入上式，便得求证。(,)GxyG定理 1.22 如果 ，置()RxC，2(,)|()|Ry ynB BnxudSdS RxB则 满足2()(Rx0 |()RBux于证明据定理 1.19，当 时， 为调和函数，且无穷次连续可微，于是 亦, Rx
