1、2013 北京文科数学 第 1 页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题 共 40分)一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1(2013 北京，文 1)已知集合 A1,0,1， B x|1 x1，则 A B( )A0 B1,0 C0,1 D1,0,12(2013 北京，文 2)设 a， b， cR，且 a b，则( )Aacbc B Ca2b2 Da3b312故选 C.8答案：B解析：设正方体的棱长为 a.建立空间直角坐标系，如图所示则 D(0,0,0)， D1(0,0， a)， C1(0， a，
2、a)， C(0， a,0)， B(a， a,0)，B1(a， a， a)， A(a,0,0)， A1(a,0， a)， P ，21,3则| | ，P229| | ，D4aa| | ，122439| | | ，PC1A29aa2013 北京文科数学 第 6 页| | | ，PCA2241693aa| | ，1B2故共有 4个不同取值，故选 B.第二部分(非选择题 共 110分)二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分9答案：2 x1解析：根据抛物线定义 ， p2，又准线方程为 x 1，故填 2， x1.2p10 答案：3解析：由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为 3，四棱锥的高为 1，
3、根据体积公式V 3313，故该棱锥的体积为 3.111答案：2 2 n1 2解析：根据等比数列的性质知 a3 a5 q(a2 a4)， q2，又 a2 a4 a1q a1q3，故求得 a12， Sn 2 n1 2.12答案： 5解析：区域 D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到 D的距离最小值为(1,0)到直线 2x y0 的距离.|210|513答案：(，2)解析：当 x1 时， ，即 ，当 x1 时，1122loglx12log002 x2 1，即 02 x2；故 f(x)的值域为(，2)14(2013 北京，文 14)已知点 A(1，1)， B(3,0)， C(2,1)
4、若平面区域 D由所有满足 (1 2,0 1)的点 P组成，P则 D的面积为_答案：3解析： ， (2,1)， (1,2)ABC设 P(x， y)，则 ( x1， y1) 得12,23,1 2,0 1，可得 如图629,03xy可得 A1(3,0)， B1(4,2)， C1(6,3)，|A1B1| ，2452013 北京文科数学 第 7 页两直线距离 ，2|96|351d S| A1B1|d3.三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15解：(1)因为 f(x)(2cos 2x1)sin 2 x cos 4x1cos 2 xsin 2x cos 4x1 (sin 4
5、xcos 4 x)1 ，sin2所以 f(x)的最小正周期为 ，最大值为 .22(2)因为 f( ) ，所以 .sin41因为 ，所以 4 .,297,所以 .故 .541616解：(1)在 3月 1日至 3月 13日这 13天中，1 日、2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是 .6(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4日，或 5日，或 7日，或 8日” 所以此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率为 .43(3)从 3月 5日开始连续三天的空气质量指数方差最大17证
6、明：(1)因为平面 PAD底面 ABCD，且 PA垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA底面 ABCD.(2)因为 AB CD， CD2 AB， E为 CD的中点，所以 AB DE，且 AB DE.所以 ABED为平行四边形所以 BE AD.又因为 BE 平面 PAD， AD 平面 PAD，所以 BE平面 PAD.(3)因为 AB AD，而且 ABED为平行四边形，所以 BE CD， AD CD.由(1)知 PA底面 ABCD，所以 PA CD.所以 CD平面 PAD.所以 CD PD.因为 E和 F分别是 CD和 PC的中点，所以 PD EF.所以 CD EF.所以 CD平面 BEF.所以
7、平面 BEF平面 PCD.2013 北京文科数学 第 8 页18解：由 f(x) x2 xsin xcos x，得 f( x) x(2cos x)(1)因为曲线 y f(x)在点( a， f(a)处与直线 y b相切，所以 f( a) a(2cos a)0， b f(a)解得 a0， b f(0)1.(2)令 f( x)0，得 x0.f(x)与 f( x)的情况如下：x (，0) 0 (0，)f( x) 0 f(x) A1 A所以函数 f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增， f(0)1 是 f(x)的最小值当 b1 时，曲线 y f(x)与直线 y b最多只有一个交点；当
8、 b1 时， f(2 b) f(2b)4 b22 b14 b2 b1 b，f(0)1 b，所以存在 x1(2 b,0)， x2(0,2 b)，使得 f(x1) f(x2) b.由于函数 f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，所以当 b1 时曲线 y f(x)与直线 y b有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线 y f(x)与直线 y b有两个不同交点，那么 b的取值范围是(1，)19解：(1)因为四边形 OABC为菱形，所以 AC与 OB相互垂直平分所以可设 A ，代入椭圆方程得 ，即 .1,2t214t3t所以| AC| .3(2)假设四边形 OABC为菱形因为点 B不是 W的顶点，且
9、AC OB，所以 k0.由 消 y并整理得(14 k2)x28 kmx4 m240.24,xykm设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，则 ， .212122k所以 AC的中点为 M .224,k因为 M为 AC和 OB的交点，且 m0， k0，所以直线 OB的斜率为 .14k因为 k 1，所以 AC与 OB不垂直4所以四边形 OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点 B不是 W的顶点时，四边形 OABC不可能是菱形20解：(1) d12， d23， d36.(2)因为 a10，公比 q1，所以 a1， a2， an是递增数列因此，对 i1,2， n1， Ai ai， Bi ai1 .于是
10、对 i1,2， n1，di Ai Bi ai ai1 a1(1 q)qi1 .因此 di0 且 (i1,2， n2)，i即 d1， d2， dn1 是等比数列(3)设 d为 d1， d2， dn1 的公差对 1 i n2，因为 Bi Bi1 ， d0，2013 北京文科数学 第 9 页所以 Ai1 Bi1 di1 Bi di d Bi di Ai.又因为 Ai1 max Ai， ai1 ，所以 ai1 Ai1 Ai ai.从而 a1， a2， an1 是递增数列因此 Ai ai(i1,2， n1)又因为 B1 A1 d1 a1 d1 a1，所以 B1 a1 a2 an1 .因此 an B1.所以 B1 B2 Bn1 an.所以 ai Ai Bi di an di.因此对 i1,2， n2 都有 ai1 ai di1 di d，即 a1， a2， an1 是等差数列
