1、西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列 及其加权和表示题 1 图所示的序列。()n解： ()4)2()()2()2()4(3) 0.56xnnn2. 给定信号： 5,41()0,nx其 它（1）画出 序列的波形，标上各序列的值；()n（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 序列；()xn（3）令 ，试画出 波形；1()2)x1（4）令 ，试画出 波形；n2()x（5）令 ，试画出 波形。3()x3n解：（1）x(n)的波形如题 2 解图（一）所示。（2） ()3(4)(3)(2)3(1)6( 6164xnnn（3） 的波形是 x(n)
2、的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如题 2 解图（二）所示。1()（4） 的波形是 x(n)的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如题 2 解图（三）所示。2()xn（5）画 时，先画 x(-n)的波形，然后再右移 2 位， 波形如题 2 解图（四）所3() 3()xn示。3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1） ，A 是常数；3()cos()78xnn（2） 。1()8je解：（1） ，这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14；324,7w（2） ，这是无理数，因此是非周期序列。1685. 设系统分别用下面的差分方程描述， 与 分别表示系统输入和输出，判断
3、系统()xny是否是线性非时变的。（1） ；()2(1)3(2)ynxn（3） ， 为整常数；0（5） ；2()yx（7） 。0()nm解：（1）令：输入为 ，输出为0()xn 0 00()213(2)()()()ynxnyn 故该系统是时不变系统。 121212()() ()()3()()yTaxnbaxnbaxbn11) n2222()()()Tbxxx11anaTb故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为 ，输出为 ，因为1()xn 10()yxn()ny故延时器是一个时不变系统。又因为 12102012()()()()()Taxnba
4、xnbxnaTxbn故延时器是线性系统。（5） 2()y令：输入为 ，输出为 ，因为0()xn 0nx20()()(yny故系统是时不变系统。又因为 2121221()()() TaxnbaxbTxnn因此系统是非线性系统。（7） 0()()nmyx令：输入为 ，输出为 ，因为0()xn 00()()n0()()nmyxyn故该系统是时变系统。又因为 1212120()()()()()nmTaxnbaxbaTxbn故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1） ；10()()Nkynx（3） ；0()()kn（5） 。()xye解：（1）只要
5、，该系统就是因果系统，因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。1N如果 ，则 ，因此系统是稳定系统。()xnM()yn（3）如果 ， ，因此系统是稳定的。系统是非()xnM00()()21nkyxnM因果的，因为输出还和 x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果 ，则()xnM，因此系统是稳定的。()()xnxMynee7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应 和输入序列 如题 7 图所示，要求画出输出()hn()xn输出 的波形。()y解：解法（1）:采用图解法 0()()()mynxhxhn图解法的过程如题 7 解图所示。解法（2）
6、:采用解析法。按照 题 7 图写出 x(n)和 h(n)的表达式:()2)(1)2(3)xnnh因为 ()*()xxnAknk所以 1()2()(2) yxnxn将 x(n)的表达式代入上式，得到 ()2()(1)0.5()21)(2) 4.5324yn nn8. 设线性时不变系统的单位取样响应 和输入 分别有以下三种情况，分别求出输()h()x出 。()yn（1） ；45(),()hRxn（2） ；2)n（3） 。5()0.5(),()nhuxRn解：（1） 45()*()()myhRn先确定求和域，由 和 确定对于 m 的非零区间如下：4Rm5n03,4n根据非零区间，将 n 分成四种情况
7、求解： 0,()ny 03,1nm3447,()8nny ,0最后结果为 0, ,7()1 38,4nyny(n)的波形如题 8 解图（一）所示。（2） 4 44()2()*(2)()2() 15ynRnRny(n)的波形如题 8 解图（二）所示.（3） 5 5()*() 0.()0.()0.()nmnmmmynxhRuRun y(n)对于 m 的非零区间为 。4, 0,()ny110.504,().5.0.(.5)0.2.5nnmnnny 5410.5,() 3.n nnm 最后写成统一表达式： 5()2.)(0.(5)nnyRu11. 设系统由下面差分方程描述：；11()()()2ynxn
8、设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令： ()x11()()22hnn20,0(11,()()2,13,()()nhnh归纳起来，结果为 1()()(2nun12. 有一连续信号 式中，()cos,axtft0,2fHz（1）求出 的周期。（2）用采样间隔 对 进行采样，试写出采样信号 的表达式。0.2Ts()axt ()axt（3）画出对应 的时域离散信号(序列) 的波形，并求出 的周期。axt ()xnn第二章教材第二章习题解答1. 设 和 分别是 和 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：()jwXe()jY()xny（1） ；0xn（2） ；()（3） ；xy（4）
9、。()n解：（1） 00()()jwnnFTxxe令 ，则 00,n00()0() ()jwnjwnjnTxxeXe（2） * *()()()()jwjnjnnFxe （3） ()()jwnTx令 ，则n ()()()jwnjwnFTxxeX（4） *jjyY证明： ()()mxnxn()*()jwnnFTyye令 k=n-m，则()*() ()jwkjnkmjwkjkjjFTxnyxyeXeY2. 已知 01,()jwXe求 的傅里叶反变换 。j ()xn解： 00sin12wjned3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数) 如果单位脉冲响应()(),jjwjHe为实序列，试证明输入 的稳
10、态响应为hn0()cosxnA。0()jwyen解：假设输入信号 ，系统单位脉冲相应为 h(n)，系统输出为0()jwnxe 000 0()()*)()()jwnjwnmjwnjwmjmynhheeheHe 上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 000000000000() ()1()cos()21 ()2 ( jwnjwnjjwnjjjjjjwjwnjjwxnAAeeyeHeeHe上式中 是 w 的偶函数，相位函数是 w 的奇函数，()jHe000000() ()()(),1 2 ()cos(jjjwjnw
11、jwnjjHeynAee4. 设 将 以 4 为周期进行周期延拓，形成周期序列 ，画出1,0()nx其 它 ()x ()xn和 的波形，求出 的离散傅里叶级数 和傅里叶变换。()nA()Xk解：画出 x(n)和 的波形如题 4 解图所示。()x,23142200444()() cos)jknjknjknjkjjkjkXDFSxeee以 4 为周期，或者()k,1111 222 40244sin()2() jkjjkjkjkn jkjjjjeeX e 以 4 为周期()k 42()()()4 2 cos()()2jwkkjkkXeFTxnXwke5. 设如图所示的序列 的 FT 用 表示，不直接
12、求出 ，完成下列运算：()xnjwX(jwXe（1） ；0()jXe（2） ；jwd（5） 2()jXe解：（1）703()()6jnex（2） ()(0)24jwXedx（5）7223()()8jn6. 试求如下序列的傅里叶变换:（2） ；11()()()22xn（3） ,0au解：（2） 221()()21 cosjwjwnjjwnjjXexee（3） 3 01()()jwnjwnnjwjwXeaueae7. 设:（1） 是实偶函数，()xn（2） 是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下， 的傅里叶变换性质。()xn解：令 ()()jwjwnnXexe（1）x(n)是实、偶函数， ()()
13、j jwnnXxe两边取共轭，得到 * ()()() )jwjwnjwnjwnexexeXe因此 *()jwjXe上式说明 x(n)是实序列， 具有共轭对称性质。()jwXe()()()cosinjwjwnnXexexjw由于 x(n)是偶函数，x(n)sinwn 是奇函数，那么 ()sin0nx因此 ()()cosjwnXex该式说明 是实函数，且是 w 的偶函数。j总结以上 x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换 是实、偶函数。()jwXe（2）x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于 x(n)是实序列， 具有共轭对称性质，即()jwe*()jjw()()cosinjwjwnnXexexj
14、由于 x(n)是奇函数，上式中 是奇函数，那么()cos()s0nw因此 ()()injwnXexw这说明 是纯虚数，且是 w 的奇函数。j10. 若序列 是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: ()h ()1cosjwRHe求序列 及其傅里叶变换 。n()jwHe解：/21()1cos()()2,2()01,1,0()(),2,()()cosjwjwj jwnR eeneejwjwnjwjnHeeFThnhhHhe 其 它12. 设系统的单位取样响应 ，输入序列为 ，(),01nau()2()xnn完成下面各题：（1）求出系统输出序列 ；()y（2）分别求出 、 和 的傅里叶变换。()xn
15、hn解：（1） 2()*()()*2() nnyxaun（2） 202()()1()()1jwjwnjwnj jwnjjjwjwjjXeeHauaeeYeXA13. 已知 ，式中 ，以采样频率 对 进行0)2cosaxtft0fHz40sfHz()axt采样，得到采样信号 和时域离散信号 ，试完成下面各题：()a()xn（1）写出 的傅里叶变换表示式 ；()axt aXj（2）写出 和 的表达式；n（3）分别求出 的傅里叶变换和 序列的傅里叶变换。()axt()xn解：（1） 000()()2cos() jt jtaajtjtjtXjxeded上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数 函
16、数，它的傅里叶变换可以表示成： 00()2()()aXj（2） 0() cos(aannxttTTtn0)2cos(), 0 1,2.5sfradTmf（3） 001()()2 ()aasks skXjXjkTk式中 280/ssfrads000000()()2co()2cos() ( 2)jwjwnjwnjwnnjjjnkXexeTeekk 式中 0.5Trad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14. 求以下序列的 Z 变换及收敛域：（2） ；(1)nu（3） ；（6） 2()10)nu解：（2） 10()2()2,2nnnZ
17、Tuzzz（3） 1112(1)()2 ,2nnnnnuzzzz（6） 90102()2 ,n nZTuz16. 已知: 113()2Xzz求出对应 的各种可能的序列的表达式。()Xz解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域 时，0.5z11()()2ncxnXZzdjA令11 15757()(0.)()(0.)2n nnzFzX zz ，因为 c 内无极点，x(n)=0 ；0n，C 内有极点 0，但 z=0 是一个 n 阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么12.5,z0.5 2()Re(),0.e(),2577
18、) ().2.1 3()(1)n nz znxsFzsFzu A（2）当收敛域 时，0.5z(57)0.2nzF，C 内有极点 0.5；0n 1()Re(),.3()nxnszA，C 内有极点 0.5，0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求 c 外极点留数，c 外极点只有一个，即 2， ()e(),2(1)nxsFzu最后得到 1()321nnxuA（3）当收敛域 时，2z(57)0.2nzF，C 内有极点 0.5，2；0n 1()Re(),.e(),3()2nxnszszAn0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此 x(n)=0。或者这样分析，C 内有极点 0.5，2，0，但 0 是一个 n
19、 阶极点，改成求 c 外极点留数，c 外无极点，所以 x(n)=0。最后得到 1()32()nxuA17. 已知 ，分别求：()(),0nxau（1） 的 Z 变换；（2） 的 Z 变换；()nx（3） 的 z 变换。au解：（1） 1()()(),nnXzZTauauzza（2）12()(),)dxzXz（3） 100() ,1nnnZTauaza 18. 已知 ，分别求：123()5zXz（1）收敛域 对应的原序列 ；0.()xn（2）收敛域 对应的原序列 。2z解： 11()()2ncxnXzdjA111233()5(0.5)2nnnzFzXz（1）当收敛域 时， ， 内有极点 0.5，
20、0.520c,()Re(),.2nxnsFzc 内有极点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点,改求 c 外极点留数,c 外极点只有 2, ,()(),n最后得到 ()2()(1)2nnnxu（2（当收敛域 时，2zc 内有极点 0.5,2, 0,n()Re(),0.5e(),2xsFzsFz3.2(.)05nnc 内有极点 0.5,2,0,但极点 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数,可是 c 外没有极点,0,n因此 , 最后得到()x().52)(nxu25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，()(),(),01,nnxauhbab试：（1）用卷积法求网络输出 ；()y（2
21、）用 ZT 法求网络输出 。n解：（1）用卷积法求 ()y， ,()()()mnnhxbua0n， ，1100() nnnmnmbyaba ()0y最后得到 1()()nbyua（2）用 ZT 法求 ()yn11(),()XzHzabYz1()()2ncynYzdjA令 111() ()nnzFzYzabab,c 内有极点0n,b11()Re(),e(),nnabaynsFzasz因为系统是因果系统， , ，最后得到0yn1()()nabu28. 若序列 是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：()hn21cos(),1jwRaHew求序列 及其傅里叶变换 。()j解： 221cos10.5()
22、() jwjjwRaaee 12 10.5().()() jjRzHzz求上式 IZT，得到序列 的共轭对称序列 。hn()ehn11()2eRcHzdjA21 10.5.()()n nRaFzzz因为 是因果序列， 必定是双边序列，收敛域取： 。()hneh 1a时，c 内有极点 ,1a210.5.()R(),()() 2nne azsFzzzn=0 时，c 内有极点 ,0， 21 1.0.5()()nRzazHzza所以 ()e(),e(),ehsFzsz又因为()eehn所以 1,0().5,nea(),()20,(),ennhnau01()jwnjwjwHeae3.2 教材第三章习题解
23、答1. 计算以下诸序列的 N 点 DFT,在变换区间 内,序列定义为01nN（2） ；()xn（4） ；,0mR（6） ；2()cos)xN（8） ；0in(w（10） 。()NxR解：（2） 1,0,1)()()(1010 NknWnkXNk （4） 1,0,)sin(1)( )1(10 kmekNjkmNnk 10,0112211)(2)()(2)(0)(0)(2 NkmNkeeeekmjNjkmNjjNnnkmjNnkmj或 且 （6） knNjmjnnNjNnk eeWkX 2210210 )(2cos)( （8）解法 1 直接计算 )(21)(si() 0008 nRejRwx Nj
24、wnN102108 0)()(nknjjjNnkeWkX )2()2(1022 0000 11kNwjjkNwjjNn nNwjwj eee ）（）（解法 2 由 DFT 的共轭对称性求解因为 )(sin()cos()()( 0070 RjwnRenx NNjwImi78 xN所以 )()(I)( 7078 kXnjDFTnjxT即 )()21)()( 77708 NkXjkjkX )1(12)1(12 2()2(2()2( 0000 kNwjjkNwjjkNwjjkNwjj eeee 结果与解法 1 所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法 11,0)(10NknWkXN上式直接计算
25、较难，可根据循环移位性质来求解 X(k)。因为 )()(RxN所以 )(1)( nRnnx N等式两边进行 DFT 得到 )()(kWkXN故 1,2,1)( k当 时，可直接计算得出 X（0）0k 2)()(1010NnnNN这样，X（k）可写成如下形式： 1,2,1,)()(NkWkXN解法 2 时，0k 2)1()(10nkXN时，k NWNkXWnkNNnkn kkkN Nkk 101 )1(432 )()()()( )0()( 所以， ,1)(kkXN即1,2,10,)()(NkWNkXN2. 已知下列 ，求()k()();xnIDFT（1） ;,2(),0jjNemXkk其 它（2
26、）,2(),0jjNekmXkk其 它解：（1） 1,0),2cos(21 211)()()2()( )(20 NnmNe eeWkXIDFTnxmnNjmNj nmNjmnjkn （2） nmNjmnNjeenx )(221)( 1,0),si()()( Njnjn 3. 长度为 N=10 的两个有限长序列1,04()59xn21,4()59nx作图表示 、 和 。1()212()yxn解：、 和 分别如题 3 解图（a） 、 （b） 、 （c）所示。1()xn212()()ynxn14. 两个有限长序列 和 的零值区间为: ()0,82xnyn对每个序列作 20 点 DFT,即 ()(),
27、1,90XkDFTxkYy如果 ()(),19kkfnIFT 试问在哪些点上 ，为什么？()*()fxy解：如前所示，记 ，而 。()()fn )()()( nyxkFIDTnf fl长度为 27， 长度为 20。已推出二者的关系为 ml nRnff )(20()(20只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足 所以ffl197),()(nynxfnfl15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率 ，信号最高频率为 1kHZ，试50FHz确定以下各参数：（1）最小记录时间 ；minpT（2）最大取样间隔 ；ax（3）最少采样点数 ；minN（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高
28、一倍的 N 值。解：（1）已知 HZF50sFTp02.51min（2） msffT5.01213maxinmax （3） 45.03insNp（4）频带宽度不变就意味着采样间隔 T 不变，应该使记录时间扩大一倍为 0.04s 实现频率分辨率提高一倍（F 变为原来的 1/2） 805.4minsN18. 我们希望利用 长度为 N=50 的 FIR 滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，()hn要求采用重叠保留法通过 DFT 来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为 M=100 个采样点） ，但相邻两段必须重叠 V 个点，然后计算各段与 的()hnL 点（本题取 L=1
29、28）循环卷积，得到输出序列 ，m 表示第 m 段计算输出。最后，()yn从 中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出 。()myn ()yn（1）求 V；（2）求 B；（3）确定取出的 B 个采样应为 中的哪些采样点。()myn解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列 的序列标号为 0，1，2，,127。()myn先以 与各段输入的线性卷积 考虑， 中，第 0 点到 48 点（共 49 个()hnl l点）不正确，不能作为滤波输出，第 49 点到第 99 点（共 51 个点）为正确的滤波输出序列的一段，即 B=51。所以，为了去除前面 49 个不正确点，取出 51 个正确的点连续得)(
30、y到不间断又无多余点的 ，必须重叠 100-51=49 个点，即 V=49。)(ny下面说明，对 128 点的循环卷积 ，上述结果也是正确的。我们知道()mynrl nRr)()128)(128因为 长度为)(nylmN+M-1=50+100-1=149所以从 n=20 到 127 区域， ，当然，第 49 点到第 99 点二者亦相等，所以，)()(nylm所取出的第 51 点为从第 49 到 99 点的 。()myn综上所述，总结所得结论V=49,B=51选取 中第 4999 点作为滤波输出。()myn5.2 教材第五章习题解答1. 设系统用下面的差分方程描述：，311()(2)()483y
31、nynxn试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解： ()1)()(1)yyx将上式进行 Z 变换 1213()()()()483YzzYzXz12()34Hz（1）按照系统函数 ，根据 Masson 公式，画出直接型结构如题 1 解图（一）所示。()z（2）将 的分母进行因式分解()Hz 123()48zHz1()()2z按照上式可以有两种级联型结构：(a) 113()()24zHzz画出级联型结构如题 1 解图（二） （a）所示(b) 113()()24zHzz画出级联型结构如题 1 解图（二） （b）所示（3）将 进行部分分式展开() 13()()24zHz()11)(zABzz03(
32、)23()24Azz17()1()4Bzz03124Hzz111773()zzzz根据上式画出并联型结构如题 1 解图（三）所示。2. 设数字滤波器的差分方程为，()(2)()(1)()ynabynayxnabxnax试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进行 Z 变换，得到 1221()()()()YzabzaYzXzabXzabz12()bH（1）按照 Massion 公式直接画出直接型结构如题 2 解图（一）所示。（2）将 的分子和分母进行因式分解：()Hz112()()azbHz按照上式可以有两种级联型结构：(a) 11()za12()bHz画出级联型结构如题 2
33、解图（二） （a）所示。(b) 11()zab12()Hz画出级联型结构如题 2 解图（二） （b）所示。3. 设系统的系统函数为，1124().4)0.590.8zzz试画出各种可能的级联型结构。解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。 12()()Hzz（1） ，1140.5z221().9.8z画出级联型结构如题 3 解图（a）所示。（2） ,121.4()05zHz12 2().9.8z画出级联型结构如题 3 解图（b）所示。4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图 d解：(d) 12345()()(
34、)hnhnhn1()hn12345()()()HzzHzHz5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图 d解：(d) 11222sin()1coscocosrzzrz rz 12in2r()cos()()sin(1)yryrx6. 写出图中流图的系统函数。图 f解：(f) 11224()33848zzHz8已知 FIR 滤波器的单位脉冲响应为 ，试用频率采样结()(1)(4)hnn构实现该滤波器。设采样点数 N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。解：已知频率采样结构的公式为 110()()NkkHHzWz式中，N=5 1400()()()()(4)Nkn knNnkDFT
35、hn 28551,23jkjke它的频率采样结构如题 8 解图所示。6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率 ，通带最大衰减6pfkHz，阻带截止频率 ，阻带最小衰减 。求出滤波器归一化传输3padB12sfkHz3sadB函数 以及实际的 。()H()a解：（1）求阶数 N。 lgspkN0.10.3251.62psaspk360ssp将 和 值代入 N 的计算公式得spklg.524.1所以取 N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取 N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。 ）（2）求归一化系统函数 ，由阶数 N=5 直接查表得
36、到 5 阶巴特沃斯归一化低通滤波()aHp器系统函数 为()a543213.261563.1appp或 22()0.8)(.8)(aH当然，也可以按（6.12）式计算出极点: 12(),0,34kjNkpe按（6.11）式写出 表达式()a401()()akkHp代入 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。kp（3）去归一化（即 LP-LP 频率变换） ，由归一化系统函数 得到实际滤波器系统函数()aHp。()aHs由于本题中 ，即 ，因此3pdB32610/cprds()aacss5542332453.2615.61.61.61cc cccsssss对分母因式形式，则有 ()aacHsps5222(0.618)(1.680)(cc cccsss如上结果中， 的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率 ，通带最在衰减速3pfkHz，阻带截止频率 ，阻带最小衰减 。求出归一化传输函0.2padB12sfkHz50sadB数 和实际的 。()H()a解：（1）确定滤波器技术指标：，0.2pdB3610/ppfrads5,24sssa
