1、课时训练 12 合情推理1.如果 f(a+b)=f(a)f(b),且 f(1) =2,则+等于( )A.2 010 B.1 00 7 C.2 014 D.2 012解析:由 f(a+b)=f(a)f(b)且 f(1)=2,得 f(a+1)=f(a)f(1)=2f(a).=2.从而有=2.+ +=21 007=2 014.答案:C2.已知在数列a n中,a 1=,且 anan+1=,则可猜测 an的通项公式为 ( )A.an= B.an=C.an= D.an=解析:由已知可求得 a1=,a2=,a3=,a4=,故可猜测 an=.答案:C3.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式:
2、 S=,可推知扇形面积公式 S 扇 =( )来源:A. B. C. D.不可类比解析:由类比的特点以及三角函数中扇形的面积公式可知 C 项正确.答案:C4.观察下列各式:5 5=3 125,56=15 625,57=78 125,则 52 011 的末四位数字为( )A.3125 B.5625 C.0625 D.8125解析:由观察易知 55 的末四位数字为 3125,56 的末四位数字为 56 25,57 的末四位数字为8125,58 的末四位数字为 0625,59 的末四位数字为 3125,故周期 T=4.又由于 2 011=5024+3,因此 52 011 的末四位数字是 8125.答案
3、:D5.对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”,推广到空间是“正四面体内任意一点 到各面的距离之和 ”.( ) A.为定值 B.为变数C.有时为定值,有时为变数 D.为与正四面体无关的常数解析:可以用体积分割法证明命题 :“正四面体内任意一点到各面的距离之和是一个定值”,并且这个定值等于正四面体的高.答案:A6.设函数 f(x)=(x0),观察:f1(x)=f(x)=,来源:数理化网f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,来源 :根据以上事实,由归纳推理可得: 来源:当 nN *且 n2 时,f n(x)=f(fn-1(x)= .
4、 解析:由已知可归纳如下:f 1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,f4(x)=,fn(x)=.答案:来源:数理化网7.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121,3 443,94 249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,99;3 位回文数有 90 个:101,111,121,191,202,999.则(1)4 位回文数有 个; (2)2n+1(nN *)位回文数 有 个. 解析:(1)2 位回文 数均是不为 0 的自然数,故有 9 个; 而对于 3 位回文数,首、末均相同且不为0,故有 9 种,而对于中间一数可含有 0,故有 10 种,因此 3 位
5、回文数有 90 种;对于 4 位回文数,首、末均相同且不为 0,故有 9 种,对于中间两数则可含有 0,故有 10 种,因此也有 90 种;(2)经归纳可得 2n+1 位回文数有 910n 个.答案:(1)90 (2)910 n8.在等差数列a n中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,且 nN *)成立.类比上述性质 ,相应地:在等比数列b n中,若 b9=1,则有等式 成立. 解析:对 于等差数列 an,若有 ak=0,根据等差中 项的知识,有 an+1+a2k-n-1=an+2+a2k-n-2=an+3+a2k-n-3=ak+ak=0,必有 a1+
6、a2+an=a1+a2+an+(an+1+an+2+a2k-n-2+a2k-n-1)(n2k-1,nN *).a 10=0,k=10.a 1+a2+an=a1+a2+an+(an+1+an+2+a1 8-n+a19-n)=a1+a2+a19-n.类似地:对于等比数列b n,若 bk=1,由等比中项的知识,有 bn+1b2k-n-1=bn+2b2k-n-2=bn+3b2k-n-3=bkbk=1.b 1b2bn=b1b2bn(bn+1bn+2b2k-n-2b2k-n-1).b 9=1,k= 9.b 1b2bn=b1b2bn(bn+1bn+2b18-n-2b18-n-1)=b1b2b17-n.答案:
7、b 1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN *)9.我们已经学过了等比数列,你有没有想到是否也有等积数列呢?(1)类比“等比数列” ,请你给出“等积数列”的定义.(2)若a n是等积数列,且首项 a1=2,公积为 6,试写出a n的通项公式及前 n 项和公式.解:(1)如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的乘积是同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,其中,这个常数叫做公积.(2)由于a n是等积数列,且首项 a1=2,公积为 6,所以 a2=3,a3=2,a4=3,a5=2,a6=3,即a n的所有奇数项都等于 2,偶数项都等于 3,因此a n的通项公式为 an=其前 n 项和公式 Sn=10.已知等式 sin210+cos240+sin 10cos 40=,sin26+cos236+sin 6cos 36=.请写出一个具有一般性的等式,使你写出的等式包含已知的等式,并证明结论的正确性.解:等式为 sin2+cos2(30+)+sin cos(30+)=.证明如下:sin2+cos2(30+)+sin cos(30+)=sin2+sin (cos 30cos -sin 30sin )=+sin2+sin 2-sin2=+sin2+sin 2-sin2=+sin2+cos 2-sin 2+sin 2-sin2=sin2+(1-2sin2)=.
