1、双基限时练(十三)一、选择题1在 ABC 中， k， R 为 ABC 外接圆半径，则 k 为( )asinA bsinB csinCA2 R B RC4 R D.R2解析 由正弦定理可知 2 R，asinA bsinB csinC k2 R.答案 A2在 ABC 中， c2， A30， B120，则 ABC 的面积为( )A. B.32 3C3 D33解析 由 A30， B120， C180( B A)30， ABC 为等腰三角形， a c， S ABC acsinB 22 .12 12 32 3答案 B3在 ABC 中， a2 bcosC，则 ABC 为( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直
2、角三角形D等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理得 a2 RsinA， b2 RsinB，代入式子 a2 bcosC，得2RsinA22 RsinBcosC，sin A2sin BcosC.sin Asin( B C)，sin( B C)2sin BcosC，即 sinBcosCcos BsinC2sin BcosC.化简、整理，得 sin(B C)0.0B180，0 C180，180 B C180. B C0， B C，故选 A.答案 A4若 ，则 ABC 的形状是( )a2b2 tanAtanBA等边三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析 由 ，得 ，得 sin2A
3、sin2 B，又 A、 B 为三角形的内角，a2b2 tanAtanB sin2Asin2B sinAcosBcosAsinB故有 A B 或 A B . 2答案 D5在 ABC 中， a3 ，cos C ， S ABC4，则 b( )213A4 B2C1 D.12解析 cos C ，sin C ，13 1 cos2C 223 S ABC absinC 3 b4，得 b2.12 12 2 223答案 B6在 OAB 中， O 为坐标原点， A(1，cos )， B(sin ，1)， ，则当 OAB 的面积达到最大值时， 等于( )(0， 2A. B. 6 4C. D. 3 2解析 由 S OA
4、B (1sin cos ) sin2 ，12 12 14又 (0， ，当 时， S 取得最大值 2 2答案 D二、填空题7方程 sinAx22sin Bxsin C0 有重根，且 A， B， C 为 ABC 的三内角，则ABC 的三边 a， b， c 的关系是_解析 由题意得 4sin2B4sin AsinC0，由正弦定理，得 b2 ac.答案 b2 ac8在 ABC 中，三内角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，且 ，则sin A Bsin A B a cc角 B_.解析 由 ，得sin A Bsin A B a cc .又 A B C，sin A Bsin A B sinA s
5、inCsinC .sin A BsinC sinA sin A BsinCsin( A B)sin( A B)sin A.即 2sin AcosBsin A.sin A0，cos B .12又 B 为三角形的内角， B .23答案 239在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD DC， ADB120， AD2，若 ADC 的面积12为 3 ，则 BC_.3解析 在 ADC 中， ADB120， ADC60. S ADC ADDCsin603 .12 3 DC2 2.又 BD DC，312 BC DC3 3.32 3答案 3 33三、解答题10在 ABC 中， B45， C60， a2(
6、 1)，求 ABC 的面积3解 A180( B C)180(4560)75.由正弦定理 ，asinA bsinB得 b 4.asinBsinA 2 3 1 sin45sin752 3 1 226 24故 S ABC absinC 2( 1)4 62 .12 12 3 32 311在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 b c2 acos(60 C)，求角 A.解 由正弦定理得 a2 RsinA， b2 RsinB， c2 RsinC， b c2 acos(60 C)，2 RsinB2 RsinC22 RsinAcos(60 C)sin Bsin Csin Aco
7、sC sinAsinC.3又 B( A C)，sin Bsin Csin( A C)sin Csin AcosCcos AsinCsin C.cos AsinCsin C sinAsinC.3sin C0， sinAcos A1，即 sin .3 (A 6) 12在 ABC 中， A .2312已知 ABC 的内角 A、 B 及其对边 a， b 满足 a b acotA bcotB，求内角 C.解 由 a b acotA bcotB 及正弦定理，得sinAsin Bcos Acos B，得 sinAcos Acos Bsin B.sin sin .(A 4) ( 4 B)又 0A B， A B， A B . 4 4 2 C . 2思 维 探 究13已知方程 x2( bcosA)x acosB0 的两根之积等于两根之和，且 a、 b 为 ABC的两边， A、 B 为两内角，试判断这个三角形的形状解 设方程的两根为 x1、 x2，由根与系数的关系得 x1 x2 bcosA， x1x2 acosB.依题意得 bcosA acosB.根据正弦定理得 a2 RsinA， b2 RsinB(R 为 ABC 的外接圆半径)，2 RsinBcosA2 RsinAcosB，即 sinAcosBcos AsinB0，sin( A B)0.0 A，0 B， A B0，即 A B，该三角形为等腰三角形
