1、双基限时练(二十二) 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1设向量 a(1,0)， b ，则下列结论中正确的是( )(12， 12)A| a| b| B ab22C a b 与 b 垂直 D a b解析 a b ，( a b)b 0，故( a b) b.(12， 12) (12， 12)(12， 12) 14 14答案 C2已知 a(4,3)，向量 b 是垂直于 a 的单位向量，则 b 等于( )A. 或(35， 45) (45， 35)B. 或(35， 45) ( 35， 45)C. 或(35， 45) ( 45， 35)D. 或(35， 45) ( 35， 45)解析 设 b( x， y)，
2、则 x2 y21，且 4x3 y0，解得Error! 或Error!故选 D.答案 D3直线 y2 与直线 x y20 的夹角是( )A. B. 4 3C. D. 2 23解析 任取直线 y2 的一个方向向量(1,0)，直线 x y20 的方向向量为(1，1)，设两直线的夹角为 ，则 cos ，又 ，所以|11 0 1 |1 01 1 22 0， 2 . 4答案 A4平面向量 a 与 b 的夹角为 60， a(2,0)，| b|1，则| a2 b|( )A. B23 3C4 D12解析 由已知| a|2，| a2 b|2| a|24 ab4| b|24421cos60412.| a2 b|2
3、.3答案 B5已知向量 a(2，1)， ab10，| a b| ，则| b|( )5A2 B25 10C20 D40解析 设 b( x， y)，由 a(2，1)， ab10，可得2 x y10. a b(2 x，1 y)，所以| a b| . 2 x 2 1 y 2 5由可得 x4， y2，所以 b(4，2)，| b| 2 . 4 2 2 2 5答案 A6若向量 (3，1)， n(2,1)，且 n 7，则 n ( )AB AC BC A2 B2C2 或 2 D0解析 ， n( ) n ，AB BC AC AB BC AC 即 n n n .AB BC AC n n n 752.BC AC AB
4、 答案 B7 a(0,1)， b(1,1)，且( a b) a，则 ( )A1 B0C1 D2解析 ( a b)a0， a2 ab0， 1.a2ab 11答案 A二、填空题8若 a(2,3)， b(4,7)，则 a 在 b 方向上的射影为_解析 由题意得 ab| a|b|cos a， b 13，| a|cos a， b .ab|b| 655答案 6559平面向量 a， b 中，已知 a(4,3)，| b|1，且 ab5，则 b_.解析 设 b( x， y)，由题意得Error!得Error!答案 (45， 35)10已知 a(1,3)， b(1,1)， c a b， a 和 c 的夹角为锐角，
5、则实数 的取值范围是_解析 c a b(1 ，3 )，由( a b)a1 3(3 )0，得 ，52当 a b ka(k0)时，得 0，故 的取值范围是 且 0.52答案 (0，)(52， 0)三、解答题11已知 a(1， x)， b(2 x3， x)(1)若 a b，求 x 的值；(2)若 a 与 b 共线，求| a b|.解 (1)由 a b，得(2 x3) x20，得x22 x30，得 x1，或 x3.(2)由 a b，得 x x(2x3)，2x24 x0 得 x0，或 x2，当 x0 时， a(1,0)， b(3,0)，| a b|2，当 x2 时， a(1，2)， b(1,2)，|a
6、b| 2 .1 1 2 2 2 2 20 512已知点 A(1,2)， B(4，1)，问能否在 y 轴上找到一点 C，使 ACB90，若能，请求出点 C 的坐标；若不能，请说明理由解 假设在 y 轴上存在点 C(0， y)，使 ACB90.由 A(1,2)， B(4，1)，得 (1， y2)， (4， y1)AC BC 又由 ，得 0，即(1)(4)( y2)( y1)0，即AC BC AC BC y2 y20. (1) 24270，此方程无解故在 y 轴上不存在点 C，使 ACB90.13已知平面 xOy 内有向量 (1,7)， (5,1)， (2,1)，点 X 为直线 OP 上的OA OB
7、 OP 一个动点(1)当 取最小值时，求 的坐标；XA XB OX (2)当点 X 满足(1)的条件时，求 cos AXB 的值解 (1)设 ( x， y)，OX 点 X 在直线 OP 上，向量 ， 共线，OX OP 又 (2,1)，可以求得 x2 y.OP ( )( )XA XB OA OX OB OX (12 y,7 y)(52 y,1 y)5 y220 y125( y2) 28.当 y2 时， 有最小值8，此时 (4,2)XA XB OX (2)当 (4,2)时， (3,5)， (1，1)，OX XA XB | | ，| | .XA 34 XB 2cos AXB .XA XB |XA |XB | 41717
