1、第 3 章 数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1若(x 21)(x 23x 2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是_ 2复数 1 _.2i33如图，设向量 ， ， ， 所对应的复数分别为 z1，z 2，z 3，z 4，那么OP PQ OQ OR z2z 42z 3_.4已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z_.z 21 i5设 z1i (i 是虚数单位)，则 z z _.z z6定义运算 adbc ，则符合条件 42i 的复数 z 为_|a c b d| |1 z 1 zi |7若(mi) 3R，则
2、实数 m 的值为_8设复数 z 满足条件| z|1，那么| z2 i|的最大值为_ 29若 是方程 x2px10 的一个根，则 p_. 1 3i210在复平面上复数1i、 0、32i 所对应的点分别是 A、B、C ，则平行四边形ABCD 的对角线 BD 的长为_ 11在复平面内，复数 对应点的坐标为 _2i1 i12下列命题，正确的是_(填序号)复数的模总是正实数；虚轴上的点与纯虚数一一对应；相等的向量对应着相等的复数；实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数13设 z11i，z 222i，复数 z1 和 z2 在复平面内对应点分别为 A、B，O 为坐标原点，则AOB 的面积为_14若复
3、数 z2 2i 对应的点为 Z，则向量 所在直线的倾斜角 _.3 OZ 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分) 计算 (5i 19) 22.i 231 23i (1 i2)16(14 分) 已知复数 x2x 2( x23x2)i (xR)是 420i 的共轭复数，求实数 x 的值17(14 分) 实数 k 为何值时，复数 (1i)k 2(35i)k2(23i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3) 是纯虚数18(16 分) 在复平面内，点 P、Q 对应的复数分别为 z1、z 2，且z22z 134i ，| z1|1，求点 Q 的轨迹19(16 分) 已知 1i
4、 是方程 x2bxc0 的一个根(b、c 为实数)(1)求 b，c 的值；(2)试说明 1i 也是方程的根吗？20(16 分) 已知复数 z1i(1i) 3，(1)求|z 1|；(2)若|z| 1，求 |zz 1|的最大值第 3 章 数系的扩充与复数的引入(B)答案11解析 ( x21)(x 23x 2)i 是纯虚数，Error!x1.212i解析 1 1 12i.2i3 2i30解析 z 2z 42z 3z 2z 3(z 4z 3)，而 z2z 3对应的向量运算为： PQ OQ PQ PR ，z4z 3对应的向量运算为： ，又 0，z 2z 42z 30.RQ OR OQ QR RQ QR
5、42i解析 设 zbi (b0)，则 .z 21 i 2 bi1 i 2 bi1 i2 2 b 2 bi2因为 是实数，所以 2b 0，z 21 ib2，z2i.54解析 z z (1i)(1 i)1i1iz z224.63i解析 zizz(1i)42i ，|1 z 1 zi |z 3i.4 2i1 i 4 2i1 i2 6 2i2733解析 因为(mi) 3R，(mi) 3m 33m (3m 21)i， 所以 3m210，解得 m .3384解析 复数 z 满足条件| z|1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而| z2 i| 即表示单位圆2上的动点到定点(2 ，1)的距离2从图形上可得|z 2
6、 i|的最大值是 4.291解析 已知 是方程 x2px10 的一个根，则 x 满足方程， 1 3i2 1 3i2代入得 2p 10，( 1 3i2 ) 1 3i2整理得(1p) 0，解得 p1.3i2 (12 p2)10 13解析 对应的复数为1i ， 对应的复数为 32i， ，BA BC BD BA BC 对应的复数为(1i)(32i)23i.BD BD 的长为 .1311(1,1)解析 i(1i)1i.2i1 i 2i1 i1 i1 i复数 对应 点的坐标为(1,1)12132解析 由题意知 (1,1) ， (2,2)，OA OB 且| |z 1| ，| |z 2| 2 .OA 2 OB
7、 8 2cosAOBOA OB |OA |OB | 0.1 2 12222AOB ，SAOB | | |2 12OA OB 2 2.12 2 2146解析 由题意 (2 ，2)，OZ 3tan ，即 .223 33 615解 原式 (5i 3)i1 23i1 23i 2i11211i(5i) i 115i 35i.16解 因为复数 420i 的共 轭复数为 420i ，由题意得：x 2x2( x23x2)i420i，根据复数相等的定义，得：Error!方程 的解为 x3 或 x2，方程 的解为 x3 或 x6.x3.17解 (1i)k 2(35i)k2(2 3i)(k 2 3k4) (k25k
8、6)i.(1)当 k25k60，即 k6 或 k1 时， 该复数为实数(2)当 k25k60，即 k6 且 k1 时， 该复数为虚数(3)当Error!即 k4 时，该 复数为纯虚数18解 z 2 2z134i，2z 1z 234i.又|2 z1|2，| z234i|2，即|z 2(3 4i)| 2.由模的几何意义知点 Q 的轨 迹是以(3 ， 4)为圆心， 2 为半径的圆19解 (1)因为 1i 是方程 x2bx c0 的根，(1 i)2b(1 i)c 0，即(bc )(2b)i0.Error!，得Error!.b2，c2.(2)方程为 x22x20.把 1i 代入方程左边得(1i) 22(1i)20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根20解 方法一 (1)z 1i(1 i) 3i(2i)(1i)2(1i) ，|z1| 2 .22 22 2方法二 |z 1|i(1i) 3|i|1i| 31( )32 .2 2(2)|z| 1，设 zcos isin ，|zz 1|cos isin 22i| cos 22 sin 22 .9 42sin( 4)当 sin 1 时，| zz 1|2 取得最大 值( 4)94 ，从而得到| zz 1|的最大值为 2 1.2 2
