1、4 简单计数问题一、基础过关1 凸十边形的对角线的条数为 ( )A10 B35C45 D902 在直角坐标系 xOy 平面上，平行直线 xm (m0,1,2,3,4) ，与平行直线yn( n 0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有( )A25 个 B100 个C36 个 D200 个3 某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 ( )A14 B24C28 D484 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同
2、取法的种数为 ( )A232 B252C472 D4845 在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任意抽出 5 件，至少有 3 件是次品的抽法共有_种6 某运动队有 5 对老搭档运动员，现抽派 4 个运动员参加比赛，则这 4 人都不是老搭档的抽派方法数为_二、能力提升7 编号为 1、2、3、4、5、6、7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有 ( )A60 种 B20 种C10 种 D8 种8 已知圆上 9 个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有 ( )A36 个 B72 个C63 个 D126 个9 将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至
3、少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有 ( )A252 种 B112 种C20 种 D56 种10空间有 10 个点，其中有 5 个点共面(除此之外再无四点共面) ，以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作_个四面体(用数字作答)11在某次数字测验中，记座号为 n(n1,2,3,4) 的同学的考试成绩为 f(n)若 f(n)70,85,88,90,98,100，且满足 f(1)f(2)f (3)f(4)，则这 4 位同学考试成绩的所有可能情况有_种12在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选 5
4、人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加；(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加三、探究与拓展13(1)四面体的一个顶点为 A，从其他顶点和各棱中点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，有多少种不同的取法答案1B 2.B 3.A 4.C 5.4 186 6.80 7.C 8.D 9.B10205113512解 (1)C 792(种) 不同的选法512(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人，共有 C 36(种) 不
5、同的选29法(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选 5 人，共有 C 126(种) 不同的59选法(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C 3(种) 选13法，再从另外的 9 人中选 4 人有 C 种选法，共有 C C 378(种) 不同的选法49 13 49(5)方法一 (直接法 )可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有 1 人参加，共有 C C 种；13 49第二类：甲、乙、丙中有 2 人参加，共有 C C 种；23 39第三类：甲、乙、丙 3 人均参加，共有 C C 种3 29共有 C C C C C C 666(种)不同的选法13
6、49 23 39 3 29方法二 (间接法)12 人中任意选 5 人共有 C 种，甲、乙、丙三人不能参加的有 C512种，所以，共有 C C 666( 种)不同的选法59 512 5913解 (1)( 直接法 )如图，含顶点 A 的四面体的 3 个面上，除点 A 外都有5 个点，从中取出 3 点必与点 A 共面共有 3C 种取法；含顶点 A 的35三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有 3 种取法根据分类加法计数原理，与顶点 A 共面的三点的取法有 3C 333(种)35(2)(间接法 )如图，从 10 个点中取 4 个点的取法有 C 种，除去 4 点共面的取法种数可410以得到结果从四面体同一个面上的 6 个点取出的 4 点必定共面有 4C 60(种)，46四面体的每一棱上 3 点与相对棱中点共面，共有 6 种共面情况，从 6 条棱的中点中取4 个点时有 3 种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分) ，故 4 点不共面的取法为：C (6063)141(种) 410
