1、“数系的扩充”例题精析例 1 实数 m 分别取什么数时，复数 z=(1+i)m2+(52i)m+615i 是实数；虚数；纯虚数；对应的点在第三象限；对应的点在直线 x+y+4=0 上；共轭复数的虚部为 12.分析:本题是一道考查复数概念的题目. 解题的关键是把复数化成z=a+bi(a、bR )的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.解: z=(1+i)m2+(52i)m +615i=(m2+5m+6)+(m22m 15)i.mR,z 的实部为 m2+5m+6,虚部为 m22m15.要使 z 为实数，必有 150,R,-= m =5 或 m=3.要使 z 为
2、虚数，必有 m22m 150, m5 且 m3.要使 z 为纯虚数，必有 2560,1+-即 3,5m或且=-m= 2.要使 z 对应的点在第三象限，必有25601+- 32,5m-3m2.要使 z 对应的点在直线 x+y+4=0 上，必有点( m2+5m+6,m22m15)满足方程 x+y+4=0，(m 2+5m+6)+(m22m15)+4=0.解得 m= 5或 m=1.要使 z 的共轭复数的虚部为 12，则(m 22m15)=12,m= 1 或 m=3.评注: 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件. 方法是按照题设条件把复
3、数整理成 z=a+bi(a、bR) 的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组) 或不等式 (组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.例 2 已知复数 z1 满足(z 12)i=1+i ，复数 z2 的虚部为 2，且 z1z2 是实数，求复数 z2.分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题. 解题的关键是根据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实部和虚部.解:由(z 12)i=1+i,得 z1= i+2=(1+i)(i)+2=3i.z 2 的虚部为 2，可设 z2=a+2i(aR),z1z2=(3i)(
4、a+2i)=(3 a+2)+(6a)i 为实数，6a=0,即 a=6.因此 z2=6+2i.评注: 掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.例 3 复平面内点 A 对应的复数是 1,过点 A 作虚轴的平行线 l,设 l 上的点对应的复数为 z,求 1所对应的点的轨迹 .分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点 A 的坐标为(1,0),l 过点 A 且平行于虚轴,所以直线 l 上的点对应的复数 z 的实部为 1,可设为 z=1+bi(bR),然后再求 z1所对应的点的集合.解:如图.因为点 A 对应的复数为 1,直线 l 过点 A 且平行
5、于虚轴,所以可设直线 l 上的点对应的复数为 z=1+bi(bR ).因此 1izb=+222i1ib-=-+.设 z1=x+yi(x、yR ),于是 x+yi= 221b-i.根据复数相等的条件,有2,.1by=-+消去 b,有 x2+y2= 22()(1)b-= 22(1)()= 221()b+=x.所以 x2+y2=x(x0),即(x )2+y2= 41(x0).所以 z所对应的点的集合是以( 21,0)为圆心, 21为半径的圆 ,但不包括原点O(0,0).评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为 (x,y).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标( x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有 :轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去 ,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程 ,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上. 对此 ,常从以下两个方面入手 :一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中, 用参数法求得的曲线方程中的 x、y 的范围可由参数函数的值域来确定.
