1、阶段性检测卷(三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共有 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分)1sin45cos15cos225sin15的值为( )A B.32 32C D.12 12解析 原式sin45cos15cos45sin15sin30 .12答案 D2已知 tan( )3，则 sin cos 的值为( ) 4A. B25 25C D.12 12解析 tan( )3， 3， 4 1 tan1 tan即 3， 9，sin cos .cos sincos sin 1 2sin cos1 2sin cos 25答案 A3 y(sin xcos x)21 是(
2、 )A最小正周期为 2 的偶函数B最小正周期为 2 的奇函数C最小正周期为 的偶函数D最小正周期为 的奇函数解析 y2sin xcosxsin2 x.答案 D4已知锐角 满 cos2 cos ，则 sin2 等于( )( 4 )A. B12 12C. D22 22解析 ，2 (0，)， .(0， 2) 4 ( 4， 4)又 cos2 cos ，( 4 )2 或 2 0. 4 4 或 (舍)12 4sin2 sin ，故选 A. 6 12答案 A5若 sin cos ，且 ，则 cos sin 的值是( )38 4 2A. B12 12C. D14 14解析 ， 4 2cos sin .1 2s
3、in cos12答案 B6求值 等于( )cos20cos351 sin20A1 B2C. D.2 3解析 原式 .cos210 sin210cos35 cos10 sin10 cos10 sin10cos35 2sin55cos35 2答案 C7已知向量 a(sin ，cos 2sin )， b(1,2)，若 a b，则 的3sin 4cossin 2cos值为( )A. B197 197C. D137 137解析 由 a b 知，2sin cos 2sin ，得 tan ， 14 3sin 4cossin 2cos .3tan 4tan 2314 414 2 197答案 B8已知 cos(
4、 ) ，sin ，且 ， ，则35 513 (0， 2) ( 2， 0)sin ( )A. B.3365 6365C D3365 6365解析 ， ， (0，)(0， 2) ( 2， 0)sin( ) ，cos .45 1213sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 45 1213 35 .(513) 3365答案 A9使函数 ysin(2 x ) cos(2x )为奇函数，且在0， 上为减函数的 3 4的一个值为( )A. B. 53 43C. D.23 3解析 y2sin(2 x )，逐个检验 3答案 C10设 atan15tan30tan15tan30， b2cos
5、 210sin70，c16cos20cos40cos60cos80，则 a， b， c 的大小关系是( )A a b c B a b， b cC a b， b c D a b c解析 ， ，(0， 2) ( 2， 0) (0，)sin( ) ，cos .45 1213sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 45 1213 35 .(513) 3365答案 A二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)11已知 tan ，tan ，且 0 ， ，则12 13 2 32 _.解析：tan( ) 1，tan tan1 tan tan12 131 160 ， ，
6、 2. 2 32 .54答案： 5412已知 f(x)2tan x ，则 f( )_.2sin2x2 1sinx2cosx2 12解析 f(x)2tan x 2 ， f 8.2cosxsinx (tanx 1tanx) 4sin2x (12) 4sin 6答案 813设 ABC 的三个内角 A， B， C，向量 m( sinA，sin B)， n(cos B， cosA)，3 3若 mn1cos( A B)，则角 C_.解析 mn sinAcosB sinBcosA3 3 sin(A B)1cos( A B)3又 A， B， C 为 ABC 的内角， A B C.故 sin(A B)sin C
7、，cos( A B)cos C，原式可化为 sinCcos C1，3即 sin ，(C 6) 12 C ， 6 6 76 C . 6 56 C .23答案 2314. 的值为_1sin10 3sin80解析 原式cos10 3sin10sin10cos102 cos60cos10 sin60sin10sin2024 4.cos70sin20答案 415关于函数 f(x)cos(2 x )cos(2 x )，有下列说法： 3 6 f(x)的最大值为 ；2 y f(x)是以 为最小正周期的周期函数； y f(x)在区间 ， 上单调递减；24 1324将函数 y cos2x 的图像向左平移 个单位后
8、，将与已知函数的图像重合224其中正确说法的序号是_解析 f(x)cos cos(2x 3) 2 (2x 3)cos sin(2x 3) (2x 3) cos2 (2x12)故正确，又将 y cos2x 图像向左平移 个单位得到的是 y cos 的224 2 (2x 12)图像，故不正确又当 x 时，02 x ，函数 f(x)在 上单24 1324 12 24， 1324 调递减，故正确答案 三、解答题(本大题共 6 道题，共 75 分)16(12 分)已知 tan ，求 的值 2 12 1 sin21 sin2 cos2解 tan ，tan ， 2 122tan 21 tan2 211 14
9、 43 1 sin21 sin2 cos2 1 2sin cos1 2sin cos 2cos2 1cos2 sin2 2sin cos2sin cos 2cos21 tan2 2tan2tan 2 tan 1 22 tan 1tan 12 .732 7617(12 分)已知 ， 都为锐角，cos ，tan( ) ，求 cos 的值45 13解 因为 是锐角，所以 sin .1 cos235所以 0 ，又 0 ，所以 . 4 2 2 4又 tan( ) ，所以 0.13 2由 tan( ) ，sin cos 13且 sin2( )cos 2( )1，得 sin( ) ，cos( ) ，110
10、310从而 cos cos ( )cos cos( )sin sin( ) .45 310 110 35 9105018(12 分)求证： .2 2sin( 34)cos( 4)cos4 sin4 1 tan1 tan证明 左边2 2sin( 4 2)cos( 4) cos2 sin2 cos2 sin2 2 2cos2( 4)cos2 sin21 cos(2 2)cos2 sin21 sin2cos2 sin2sin2 cos2 2sin coscos2 sin2 cos sin 2 cos sin cos sin 右边cos sincos sin 1 tan1 tan等式成立19(13 分
11、)已知函数 f(x)sin cos xR，(x74 ) (x 34 )(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知 cos( ) ，cos( ) ，0 ，求证 f( )220.45 45 2解 (1) f(x)sin cosError!Error!(x 74 2 )sin sin 2sin ，(x 4) (x 4) (x 4) T2， f(x)min2.(2)证明：由已知 cos cos sin sin ，cos cos sin sin .45 45两式相加 2cos cos 0.0 ， . 2 2 f( )224 220.(sin 4)20(13 分)如图，在一块半径为 R 的半圆形的
12、铁板中截取一个内接矩形 ABCD，使其一边 CD 落在圆的直径上，问应该怎样截取，才可以使矩形 ABCD 的面积最大？并求出这个矩形的面积解 如图所示，设 AOD ，则 OD OAcos Rcos ， AD OAsin Rsin ，矩形 ABCD 的面积为S 矩形 ABCD CDAD2 ODAD2 Rcos Rsin R2sin2 R2，其中等号成立的条件是 sin2 1，即 2 90，于是 45，此时这个矩形的长度为 2：1， C， D 距 O 的距离为 R 时，( S 矩形 ABCD)max R2.2221(13 分)已知函数 f(x) sin2x2sin 2x，3(1)求函数 f(x)的
13、最大值；(2)求函数 f(x)的零点的集合解 (1)因为 f(x) sin2x(1cos2 x)32sin 1.(2x 6)所以，当 2x 2 k ，即 x k (kZ)时，函数 f(x)取得最大值 1. 6 2 6(2)解法一：由(1)及 f(x)0，得 sin ，所以 2x 2 k ，或 2x(2x 6) 12 6 62 k ，即 x k，或 x k (kZ) 6 56 3故函数 f(x)的零点的集合为 x|x k，或 x k ， kZ 3解法二：由 f(x)0，得 2 sinxcosx2sin 2x，3于是 sinx0，或 cosxsin x，3由 sinx0 可知 x k；由 cosxsin x，即 tanx 可知 x k ， kZ，3 3 3故函数 f(x)的零点的集合为 x|x k，或 x k ， kZ 3
