1、4.2.1 第 2 课时 直线与圆的位置关系一、选择题1若直线 x y m0 与圆 x2 y2 m 相切，则 m 的值为( )A0 或 2 B0 或 4C2 D4解析：选 C 法一：圆 x2 y2 m 的圆心坐标为(0,0)，半径长 r (m0)，由题意m得 ，即 m22 m，|m|2 m又 m0，所以 m2.法二：由Error!消去 y 并整理，得 2x22 mx m2 m0.因为直线与圆相切，所以上述方程有唯一实数解，因此 (2 m)28( m2 m)0，即 m22 m0，又 m0，所以 m2.2过点(1,1)的直线与圆( x2) 2( y3) 29 相交于 A， B 两点，则| AB|的
2、最小值为( )A2 B43C2 D55解析：选 B 当圆心和点(1,1)的连线与 AB 垂直时，弦心距最大，| AB|最小；易知弦心距的最大值为 ，故| AB|的最小值为 2 4. 2 1 2 3 1 2 5 9 53已知圆 C：( x a)2( y2) 24( a0)及直线 l： x y30，当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 时， a 等于( )3A. B22 2C. 1 D. 12 2解析：选 C 圆心 C(a,2)到直线 l 的距离 d ，|a 2 3|2 |a 1|2所以 2 24，(|a 1|2 ) (232)解得 a1 (舍去)，或 a 1.2 2故选 C.4已知圆 C1：(
3、 x1) 2( y1) 21，圆 C2与圆 C1关于直线 x y10 对称，则圆C2的方程为( )A( x2) 2( y2) 21 B( x2) 2( y2) 21C( x2) 2( y2) 21 D( x2) 2( y2) 21解析：选 B 设点( x， y)与圆 C1的圆心(1,1)关于直线 x y10 对称，则Error!解得Error! 从而可知圆 C2的圆心坐标为(2，2)，又知其半径为 1，故所求圆 C2的方程为(x2) 2( y2) 21，故选 B.5已知点 P(a， b)(ab0)是圆 x2 y2 r2内的一点，直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线，直线 l 的方程为 ax
4、 by r2，那么( )A m l 且 l 与圆相交 B m l 且 l 与圆相切C m l 且 l 与圆相离 D m l 且 l 与圆相离解析：选 C 点 P(a， b)在圆内， a2 b2 r2.又 kOP ，ba km .ab直线 l 的方程为 ax by r2， kl ，ab l m.设圆心到直线 l 的距离为 d，则 d r，故直线 l 与圆相离r2a2 b2 r2r二、填空题6已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x4 y40 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为_解析：设圆心为( a,0)(a0)，则 2， a2，故所求方程为( x2)|3a 4|52 y24
5、，即 x2 y24 x0.答案： x2 y24 x07已知两点 A(2,0)， B(0,2)，点 C 是圆 x2 y22 x0 上任意一点，则 ABC 的面积最小值是_解析：直线 AB 的方程为 x y20，圆心到直线 AB 的距离为d ， 1 0 22 322所以，圆上的点到直线 AB 的最小距离为 1，322S ABC AB( 1) 2 ( 1)3 .12 322 12 2 322 2答案：3 28已知圆的方程为 x2 y24 x2 y40，则 x2 y2的最大值为_解析：方程 x2 y24 x2 y40 可化为( x2) 2( y1) 29， 它表示圆心为 A(2,1)，半径为 3 的圆
6、，如右图所示 x2 y2()2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显 x 0 2 y 0 2 然，连接 OA 并延长交圆于点 B，则| OB|2即 x2 y2的最大值，为| OA|3| 2( 3) 21465.5答案：146 5三、解答题9已知圆 C： x2( y1) 25，直线 l： mx y1 m0.(1)求证：对任意 mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；(2)设 l 与圆 C 交于 A， B 两点，若| AB| ，求 l 的倾斜角；17(3)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程解：(1)证明：由已知直线 l： y1 m(x1)，知直线 l 恒过定点 P(1,1)1 215， P
7、点在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立方程组Error!消去 y 得(m21) x22 m2x m250， x1， x2是一元二次方程的两个实根，| AB| |x1 x2|，1 m2 ， m23， m ，17 1 m216m2 201 m2 3 l 的倾斜角为 或 . 3 23(3)设 M(x， y)， C(0,1)， P(1,1)，当 M 与 P 不重合时，| CM|2| PM|2| CP|2， x2( y1) 2( x1) 2( y1) 21.整理得轨迹方程为x2 y2 x2 y10( x1)当 M 与 P 重合时
8、， M(1,1)满足上式，故 M 的轨迹方程为 x2 y2 x2 y10.10已知 O： x2 y21 和定点 A(2,1)，由 O 外一点 P(a， b)向 O 引切线 PQ，切点为 Q，且满足| PQ| PA|.(1)求实数 a， b 间满足的等量关系；(2)求线段 PQ 的最小值解：(1)连接 OP， Q 为切点， PQ OQ，由勾股定理有| PQ|2| OP|2| OQ|2.又| PQ| PA|，| PQ|2| PA|2，即 a2 b21( a2) 2( b1) 2，整理，得 2a b30.(2)由 2a b30 得 b2 a3，| PQ| a2 b2 1 a2 2a 3 2 1 ，5a2 12a 85 a 65 2 45当 a 时，| PQ|min ，65 255即线段 PQ 的最小值为 .255
