1、3.1.2 概率的意义1.概率论的产生,还有一段名声不好的故事.17 世纪的一天,保罗与著名的赌徒梅尔赌钱,他们事先每人拿出 6 枚金币,然后玩,约定谁先胜三局谁就得到 12 枚金币.比赛开始后,保罗胜了一局,梅尔胜了两局,这时一件意外的事中断了他们的赌博.于是,他们商量这 12 枚金币应该怎样合理地分配.保罗认为,根据胜利的局数,他自己应得总数的 31,即 4 枚金币,梅尔应得总数的 32,即 8 枚金币.但精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大,所以他应该得到全部的金币,于是他们请求数学家帕斯卡评判.帕斯卡得到答案后,又求教于数学家费尔马.他们的一致裁决是:保罗应分得 3 枚金币,梅尔应分得 9
2、 枚金币.试问：1.你知道数学家帕斯卡和费尔马当时各自是怎样考虑和解决的吗？2.你对数学家帕斯卡和费尔马了解多少？思路:帕斯卡是这样解决的:如果再玩一局,或是梅尔胜,或是保罗胜.如梅尔胜,那么他可以得到全部的金币(记为 1),如果保罗胜,那么两人各胜两局,应各得金币的一半(记为 21).由于这一局中两人获胜的可能性相等,因此梅尔得金币的可能性应是两种可能性大小的一半,记梅尔为(1+ 21)2= 43,保罗为(0+ 21)2= 4.所以他们各得 9 枚和 3 枚金币.帕斯卡 16231662 法国 费尔马 16011665 法国费尔马是这样考虑的:如果再玩两局,会出现四种可能的结果:(梅尔胜,保
3、罗胜)；(保罗胜,梅尔胜)；(梅尔胜,梅尔胜)；(保罗胜,保罗胜).其中前三种结果都是梅尔取胜,只有第四种结果才能使保罗胜,所以梅尔取胜的概率为 43,保罗取胜的概率为 41.因此梅尔应得 9枚金币,而保罗应得 3 枚金币.这和帕斯卡的答案一致.帕斯卡和费尔马还研究有关这类随机事件的更一般的规律,由此开始了概率论的早期研究工作.2.在密码的编制和破译中,概率论起着重要的作用.要使敌人不能破译电文而又能使盟友容易译出电文,一直是外交官和将军们关心的问题.为了保密,通讯双方事先有一个秘密约定,称为密钥.发送信息方要把发出的真实信息明文,按密钥规定,变成密文.接收方将密文按密钥还原成明文.例如,古罗
4、马伟大的军事和政治家凯撒大帝把明文中的每个字母按拉丁字母次序后移三位之后的字母来代替,形成密文.接收方收到密文后,将每个字母前移三位后便得到明文.这是一种原始的编制密码方法,很容易破译.在书面语言中单个的字母不是以同样的频率出现的.从例 1 中英文字母出现频率的统计表中我们可以看出,在英文常用文章中,平均说来出现字母“E”的频率约为 10.5%,“T”约为 7.1%,而“J”的出现远小于 1%.例如像凯撒大帝用过的简单密码,用 FRGHV 来代替 CODES,容易通过对电文中字母的频率分析来破译.出现频率最高的字母大概表示“E”,出现频率次高的字母大概是“T”,等等.现代保密系统采用了能确保每
5、个字母出现在密文中的概率都相等的技术.一种理论上不可破译的密码是“一次性密码本” （用后立即销毁）.这种密码本是一长串的随机数,每个都在 1 和 26 之间.这样一种密码本可能从以下数开始：19,7,12,1,3,8,.如“ELEVEN”这个词,用按字母表顺序排在 E 后面第 19 个字母表示E, 而用 L 后面第 7 个字母表示 L,等等.因此,ELEVEN 变成了 XSQWHV.注意,尽管在明文中“E”出现 3 次,但是在密文 XSQWHV 中却是用三个不同的字母来替换的.3.概率天气预报是用概率值表示预报量出现可能性的大小,它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无” 、某种气象要素值的“
6、大”或“小”,而是天气现象出现的可能性有多大.如对降水的预报,传统的天气预报一般预报有雨或无雨,而概率预报则给出可能出现降水的百分数,百分数越大,出现降水的可能性越大.概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面,又反映了天气变化的不确定性和不确定程度.在许多情况下,这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要.请问同学们对概率天气预报如概率降水预报了解多少？答案：概率,通俗地讲就是某件事发生的可能性,用 01 之间的一个小数表示,概率愈大,某事件发生的可能性也就愈大.降水概率预报,顾名思义就是一种未来出现降水可能性大小的预报.为方便用户使用,降水概率一般用百分数表示,与常规降水预报不同的是
7、,它预报的不是降水的有、无,而是出现降雨的概率.在实际应用时,一般以 50%作为“参考点”,当降水概率低于 50%时,概率愈小,降水的可能性也就愈小；当降水概率高于 50%时,概率愈大,降水的可能性也就愈大；如果降水概率正好是 50%左右时,有雨和无雨的可能性大致相当,这时就没有使用意义了.不过,在我们的概率预报中,是不会出现这种情况的,这是因为当降水概率出现在 50%附近时,我们会运用多种手段,作出更进一步分析,将有应用价值的结论提供给人们使用.4.背景材料:记者梁红英报道本报讯 2004 年 2 月 3 日晚 6 点 19 分,一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票,同时中出 10 注一等奖,独
8、揽 48 571 620 元巨额奖金,创下了中国彩票史上个人一次性奖额之最.据有关人士介绍,该彩民当时花了 200 元买下 100 注“江浙沪大乐透”彩票,分成10 组,每组 10 注,每组的自选号码相同.结果,其中 1 组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”期开奖号码完全一致.记者江世亮报道本报讯对于这种似乎不可能发生事件的发生,从数学概率论上将作何解释？为此记者于昨日午夜电话联线采访了本市一位数学建模专家博士说,以他现在不完全掌握的情况来分析,像这位幸运者同时获得 10 个大奖的概率,可称得上一次万亿分之一的事件,通俗讲就是接近于零.国外的中奖者完全是基于运气,很多人往往是因为找不出零钱,而在加油站等处随手买一张而中的奖.上面是文汇报 2004 年 2 月 5 日登载的两条消息,对其中提到的“一次万亿分之一的事件”,我们该作何理解呢？
