1、2.3.4 平面与平面垂直的性质备用习题(2007 福建高考,理 18)如图 22，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2,D 为 CC1中点.图 22（1）求证：AB 1平面 A1BD；（2）求二面角 AA1DB 的大小；（3）求点 C 到平面 A1BD 的距离.分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.（1）证明：如图 23,取 BC 中点 O，连接 AO.图 23ABC 为正三角形，AOBC.在正三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO平面 BCC1B1.连接 B1O，在正方形
2、 BB1C1C 中，O、D 分别为 BC、CC 1的中点，B 1OBD.AB 1BD.在正方形 ABB1A1中，AB 1A 1B,AB 1平面 A1BD.（2）解：设 AB1与 A1B 交于点 G，在平面 A1BD 中，作 GFA 1D 于 F，连接 AF，由（1）,得AB1平面 A1BD，AFA 1D.AFG 为二面角 AA1DB 的平面角.在AA 1D 中，由等面积法可求得 AF= 54,又AG= 2AB1= ，sinAFG= 41052AFG.二面角 AA1DB 的大小为 arcsin 410.(3)解：在A 1BD 中，BD=A 1D= 5，A 1B= 2，S A1BD = 6,SBCD =1.在正三棱柱中，A 1到平面 BCC1B1的距离为 3.设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d.由 VA1BCD=VCA1BD,得 3SBCD =3SA1BD d,d= BDAC1= 2.点 C 到平面 A1BD 的距离为 .
