1、导数的创新应用有好多数学问题，利用函数导数求解，可以使得有些数学问题得到简化下面选解几例一、求数列的 n 项和 例 1 已知 x0，x 1，求数列 1，2x，3x 2， nx 1n，的前 n 项和分析：根据题特点，可构造等式 1 + x + x + x 3+ + x =1，求导即可解：当 x0，x 1 时，1 + x + x 2+ x 3+ + x n=n1，两边都是关于 x 的函数，求导得：1+ 2x + 3x 2+ + nx 1n= )(1xn= 21)(xn评注：这样的问题可以通过错位相加(减) 求和，但运用导数运算更加简明二、求组合数的和例 2 求和：C 1n+ 2C 2+ 3C 3n
2、+ + nC n分析：根据题特点，可构造等式(1 + x) = 1 + C nx + C 2x + C 3nx + + C nx ，求导即可解：由二项展开式，得：两边求导，得：n(1 + x) 1n= C + 2C 2nx + 3C 3x 2+ + nC nx 1 令上式 x = 1，得：C 1+ 2C n+ 3C + + nC n= n2 评注：利用组合数的性质或构造概率模型都可以求解，但运算量都比求导麻烦 三、证明不等式例 3 证明： 321sin(0)xxR，分析：构造函数，求导，再用单调性即可解决证明：构造 32()1fxx，则 2()31fx该二次式的判别式 40，()0fx，是 R
3、上的增函数， ()1f ，而 sin1x ，32sinxx评注：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用 (0)1f架桥铺路，使问题得解.四、方程根的问题例 4 求证方程 xlgx1 在区间（2，3）有且仅有一个实根.分析：可构造函数，利用导数法解决解：设 yf(x)xlgx1，ylgxlgelgex ，当 x（2，3）时，y0，f(x) 在（2，3）上为增函数，又 f(2)2lg21lg0.40，f(3)3lg3 1lg2.70，在（2，3）内 xlgx10 有且仅有一个实根.评注：本题是通过构造函数 f(x)xlgx 1，利用导数判断函数 f(x)在区间(2， 3)上的单调性及函数 f(x)在两个端点的值的符号进行求解的.一般地，如果函数在区间(a，b)上具有单调性，那么，当 f(a)f(b)0 时，方程 f(x)0 在区间(a， b)有唯一解；当 f(a)f(b)0 时，方程 f(x)0 在区间 (a，b)无实数解
