1、1. 6 三角函数模型的简单应用重点：用三角函数模型来刻画具有周期变化规律的实际问题难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型一、三角函数在物理等其它学科中的应用各学科的知识可以相互应用，如物理学中的振动、波的传播、电流、生物学中的某些生活规律等，都可以用三角函数来模拟例 1 弹簧挂着的小球作上下振动，它在时间 t(s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离 h(cm)由下列函数关系决定：h3sin(2t 4)(1)以 t 为横轴，h 为纵轴，作出函数的图象(0t)；(2)求小球开始振动的位置；(3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的位置；(4)经过多长时间，小球往
2、返振动一次？(5)每秒钟内小球能往返振动多少次？【分析】 解答本题可先画出 h3sin(2t 4)的图象，然后结合图象去分析，解决问题【解】 (1)图象如图所示：(2)令 t0，得 h cm；322(3)结合图象得最高点和最低点分别是( ，3)，( ，3)；8 58(4)周期 T3.14，即每经过约 3.14 s 小球往返振动一次；(5) 0.318，1T 13.14即每秒钟小球约往返振动 0.318 次【点评】 此类题目属于正弦曲线在运动学中的应用，解答此类题目的关键在于利用已知条件作出函数图象，然后借助于数形结合的思想，结合必要的物理学知识加以分析解决二、三角函数在自然界中的应用自然界中许
3、多现象如日月的变化、时间的变化、潮水的变化等，可以用三角函数模拟研究例 2 下表是某地一年中 10 天测量的白昼时间统计表.(1)以日期在 1 年 365 天中的位置序号为横坐标，描出这些数据的散点图；(2)确定一个满足这些数据的形如 yAcos(x)t 的函数；(3)用(2)中的函数模型估计该地 7 月 3 日的白昼时间【分析】 解答本题可先作出散点图，然后把 yAcos(x)t 结合图象求出 A、，最后利用函数模型求 7 月 3 日的白昼时间【解】 (1)(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间的关系近似为 y Acos(x)t，由图形知函数的最大值为 19.4，最小值为 5.4，即 yma
4、x19.4，ymin5.4.由 19.45.414，A7.由 19.45.424.8，得 t12.4.T365， .2365y7cos( x )12.4.2365当 x172 时，cos( x ) 1，ymax19.4.2365得一个 值为 ，2172365y7cos 12.4.2x 172365(3)7 月 3 日即 x184，y19.4，约为 19.4 小时【点评】 本题是根据条件建立拟合函数，要根据散点图猜测可能用到的函数形式三、三角函数在日常生活中的应用在现实生活中，有很多常见的现象具有三角函数性质的规律例 3 如图所示，摩天轮的半径为 40 m，O 点距地面的高度为 50 m，摩天轮
5、作匀速转动，每 3 min 转一圈，摩天轮上的 P 点的起始位置在最低点处(1)试确定在时刻 t min 时 P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间 P 点距离地面不低于 70 m?【分析】 描述实际运动问题，首先要建系，用解析法探究问题【解】 以中心 O 与最低点 P 的连线的延长线与地面的交点为坐标原点建立坐标系(图略) ，设 t min 时 P 距地面高度为 y，则依题意得 y40sin 50.(23t 2)(2)令 40sin 5070，(23t 2)sin ，(23t 2) 122k t 2k ，kZ，623 2 562k t2k ，kZ，23 23 433k1t3k2，kZ.令 k0，得 1t2.因此，共有 1 min 距地面不低于 70 m.【点评】 利用坐标解析法处理问题是一种重要方法，如三角函数的定义的推导、三角公式的推导等，并且在生产和科技领域中，也有许多研究变化范围的问题，常常是先建模，后建立不等式，再求解问题
