1、第 7 讲 直线与圆锥曲线的位置关系A 级 基础演练 (时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1(2013潍坊一模 )直线 4kx4yk0 与抛物线 y2x 交于 A，B 两点，若|AB|4，则弦 AB 的中点到直线 x 0 的距离等于 ( 12)A. B2 C. D474 94解析 直线 4kx4yk0，即 yk ，即直线 4kx4y k0 过抛物线(x 14)y2x 的焦点 .设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则|AB|x 1x 2 4，故(14，0) 12x1x 2 ，则弦 AB 的中点的横坐标是 ，弦 AB 的中点到直线 x 0 的距7
2、2 74 12离是 .74 12 94答案 C2(2012台州质检 )设斜率为 的直线 l 与椭圆 1(ab0)交于不同的两22 x2a2 y2b2点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.33 12 22 13解析 由于直线与椭圆的两交点 A，B 在 x 轴上的射影分别为左、右焦点F1，F 2，故|AF 1|BF 2| ，设直线与 x 轴交于 C 点，又直线倾斜角 的正b2a切值为 ，结合图形易得 tan ，故22 22 |AF1|CF1| |BF2|CF2|CF1|CF 2| |F 1F2|2c ，整理并化简得 b2 (a2c 2
3、)ac，即22b2a 2 2(1e 2)e ，解得 e .222答案 C3(2012吉安二模 )抛物线 y22px 与直线 2xya0 交于 A，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2) ，设抛物线的焦点为 F，则| FA|FB| 的值等于 ( )A7 B3 C6 D55解析 点 A(1,2)在抛物线 y22px 和直线 2xya0 上，则p2，a4，F(1,0) ，则 B(4，4)，故| FA|FB |7.答案 A4(2013宁波十校联考 )设双曲线 1( a0，b0) 的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，离心率为 e，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若F1AB
4、 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2( )A12 B422 2C5 2 D322 2解析 如图，设|AF 1|m，则|BF1| m，| AF2|m2 a，| BF2| m2a2 2， |AB|AF 2|BF 2|m 2a m2am2，得 m2 a，又由|AF 1|2|AF 2|2| F1F2|2，2可得 m2(m2a) 24c 2，即得(208 )2a24c 2，e 2 52 ，故应选 C.c2a2 2答案 C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5椭圆 y21 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是_x22 (12，12)解析 设弦的两个端点为 A(x1，y 1)，B(x
5、2，y 2)，则 x1x 21，y 1y 21.A，B 在椭圆上， y 1， y 1.x212 21 x22 2两式相减得： (y 1y 2)(y1y 2)0，x1 x2x1 x22即 ，y1 y2x1 x2 x1 x22y1 y2x1x 21，y 1y 21， ，即直线 AB 的斜率为 .y1 y2x1 x2 12 12直线 AB 的方程为 y ，12 12(x 12)即该弦所在直线的方程为 2x4y 30.答案 2x4 y306(2013东北三省联考 )已知椭圆 C： 1(ab0) ，F ( ，0)为其右焦点，x2a2 y2b2 2过 F 垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2，则
6、椭圆 C 的方程为_解析 由题意，得Error!解得Error!椭圆 C 的方程为 1.x24 y22答案 1x24 y22三、解答题(共 25 分)7(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的A，B 两点(1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值；OA OB (2)如果 4，证明：直线 l 必过一定点，并求出该定点OA OB (1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0) ，设 l：xty1，代入抛物线 y24x，消去 x 得 y24ty40，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24t，y 1y24， x 1x2y 1y2(ty
7、11)(ty 21) y 1y2OA OB t 2y1y2t( y1y 2)1y 1y24t 24t 2143.(2)证明 设 l：x tyb，代入抛物线 y24x，消去 x 得 y24ty4b0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24t，y 1y24b， x 1x2y 1y2(ty 1b)(ty 2b) y 1y2OA OB t 2y1y2bt( y1y 2)b 2 y1y24bt 24bt 2b 24bb 24b.令 b24b4，b 24b40，b2，直线 l 过定点(2,0) 若 4，则直线 l 必过一定点OA OB 8(13 分) 给出双曲线 x2 1.y22(
8、1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1，P 2 两点，求线段 P1P2 的中点P 的轨迹方程；(3)过点 B(1,1)能否作直线 m，使得 m 与双曲线交于两点 Q1，Q 2，且 B 是Q1Q2 的中点？这样的直线 m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由解 (1)设弦的两端点为 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，则Error!两式相减得到2(x1x 2)(x1x 2)( y1y 2)(y1y 2)，又 x1x 24，y 1y 22，所以直线斜率 k 4.y1 y2x1 x2故求得直线方程为 4xy 70.(
9、2)设 P(x，y)，P 1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，按照(1)的解法可得 ， y1 y2x1 x2 2xy由于 P1，P 2，P ，A 四点共线，得 ， y1 y2x1 x2 y 1x 2由可得 ，整理得 2x2y 24xy 0，检验当 x1x 2 时，2xy y 1x 2x2，y0 也满足方程，故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 2x2y 24xy 0.(3)假设满足题设条件的直线 m 存在，按照(1) 的解法可得直线 m 的方程为y2x1.考虑到方程组Error! 无解，因此满足题设条件的直线 m 是不存在的B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择
10、题(每小题 5 分，共 10 分)1(2013皖南八校联考 )已知直线 l：y k(x2)( k0)与抛物线 C：y 28x 交于A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若|AF|2| BF|，则 k 的值是 ( )A. B. C2 D.13 223 2 24解析 法一 据题意画图，作AA1l，BB 1l，BDAA 1.设直线 l 的倾斜角为 ，|AF|2|BF|2r，则|AA 1|2|BB 1|2|AD |2r，所以有|AB| 3r，|AD |r，则|BD|2 r，ktan tanBAD 2 .2|BD|AD| 2法二 直线 yk (x2)恰好经过抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)，由E
11、rror!可得ky28y16k0，因为|FA| 2| FB|，所以 yA2y B.则yA yB2y By B ，所以 yB ，y AyB16，所以2y 16，即8k 8k 2ByB 2 .又 k0，故 k2 .2 2答案 C2(2012沈阳二模 )过双曲线 1( a0)的右焦点 F 作一条直线，当直线x2a2 y25 a2斜率为 2 时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )A( ，5) B( ， ) C(1， ) D(5,5 )2 5 10 2 2解析 令 b ，c ，则双曲线的离心率为 e ，双曲线的渐5
12、 a2 a2 b2ca近线的斜率为 .ba据题意，2 22)则直线 OM 的方程为 y x.1k由Error!得Error!所以|ON| 2 .1 k24 k2同理|OM |2 .1 k22k2 1设 O 到直线 MN 的距离为 d，因为(| OM|2 |ON|2)d2|OM| 2|ON|2，所以 3，即 d .1d2 1|OM|2 1|ON|2 3k2 3k2 1 33综上，O 到直线 MN 的距离是定值6(13 分)(2012 临沂二模 )在圆 x2y 24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段，D 为垂足，点 M 在线段 PD 上，且|DP| |DM|，点 P 在圆上运动2(1)
13、求点 M 的轨迹方程；(2)过定点 C(1,0)的直线与点 M 的轨迹交于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在点 N，使 为常数，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理NA NB 由解 (1)设 P(x0，y 0)，M (x，y)，则 x0x ，y 0 y.2P(x 0，y 0)在 x2y 24 上，x y 4.20 20x 22y 24，即 1.x24 y22点 M 的轨迹方程为 1(x2)x24 y22(2)假设存在当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k 0)，A(x 1，y 1)，B (x2，y 2)，N(n,0)，联立方程组Error!整理得
14、(1 2k 2)x24k 2x 2k240，x 1x 2 ，x 1x2 .4k21 2k2 2k2 41 2k2 (x 1n，y 1)(x2n，y 2)NA NB (1 k2)x1x2( x1x 2)(k2n) n 2k 2(1 k2) (k 2n) k 2n 22k2 41 2k2 4k21 2k2 n 2k24n 1 41 2k2 n 2122k2 14n 1 124n 1 41 2k2 (2n24n1) .12 2n 721 2k2 是与 k 无关的常数， 2n 0.NA NB 72n ，即 N ，此时 .74 ( 74，0) NA NB 1516当直线 AB 与 x 轴垂直时，若 n ，则 .74 NA NB 1516综上所述，在 x 轴上存在定点 N ，使 为常数( 74，0) NA NB 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
