1、第九章 随机优势,前几章的分析方法是由Ramsay和von Neumann等提出的，其基本思想是，在适合一定的公里体系的条件下，一随机事件的效用能用它的期望效用去表示。 1962年后又发展了另外一种在风险情况下制定决策的方法，称为随机优势法（或随机占优）。应用于有价证券等财经问题，其目的是筛掉那些不占优势的方案。,优势原则（随机优势原则）优势概念应用的主要领域是财政和经济。有价证券问题的研 究最有名的是1959年Markowitz提供的方法。 优势原则对于理解 和解决有价证券问题起了重要的作用。此外，虽然有价证券问题 有其特殊的结构，但这种类型的决策问题仍然散布在财政、金 融、保险、经济和其他
2、有关领域中。用一个简单的例子说明优势原则。,二. 有价证券问题的Markowitz模型,Markowitz于1952年提出了资产选择的均值方差模型，它以资产回报的均值和方差作为选择的对象而不去考虑个体的效用函数。一般来说，资产回报的均值和方差并不能完全包含个体选择时所需要的信息。但是，在一定条件下，个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产的均值和方差的函数，从而投资者可以只把资产回报的均值和方差作为选择的目标。尽管均值方差模型不能用来完全刻画个体的偏好，但由于它的灵活性以及经验上的可检验性，均值方差模型分析得到了广泛的应用。,设一决策人将投资一定数额的资金于 n 种产业（或公债），如Ri 是决策人
3、在固定的投资周期内投资于产业 i 的估计的每元收益，而xi 是他的资金分配到产业 i 的百分比。则他在有价证券投资的回收为R = R1x1 + R2x2 + + Rnxn (x1, x2, , xn)称为有价证券组合（portfolio），它受到约束 x1 + x2 + + xn = 1 一般地，Ri 是随机变量，它表示投资于产业 i 所承担的可能风险。因此R也是随机变量，其分布函数为F(r)，这个函数依赖于(x1, x2, , xn)。投资人的决策是，选择投资组合(x1, x2, , xn)使产生最大的期望收益。Markowitz构造的模型是：,(x1, x2, , xn)受到其它约束 上式
4、中的 Ei 是 Ri 的期望值，ij 是Ri 和Rj 的协方差，E 是 R 的期望值，即有价证券的平均回收，V是R的方差。,风险厌恶者追求的目标是回报尽可能的高，而风险尽可能的小。如何在这二者之间进行选择？这两个相互矛盾的目标导致投资者是投资在证券组合上而不是在单一的证券上。 投资者从满足如下条件的证券组合集中选择他的最优证券组合： 1. 对给定的风险水平，回报最大； 2. 对给定的回报，风险水平最小。 满足上面两个条件的证券组合集称为有效集（Efficient Set, ES）。 定义7.1 一个证券组合称为前沿证券组合，如果它在所有具有相同期望回报的证券组合中具有最小方差。所有前沿证券组合
5、的集称为证券组合前沿。,图6.1 均值标准差平面的证券组合前沿,A点是无差异曲线的一个全局最小方差点。比A点回报率高的证券组合称为有效证券组合，有效证券组合形成的集合称为有效集（和前面的定义一致）。,随机占优 （Stochastic Dominance） 有效集 (ES越小越好) 第一类效用函数 U1 = U U和U 在I上是连续的和有界的，而且在 I0上有U 0 其中，I为a, b，I0为(a, b) 其经济意义是具有这样效用函数的决策人一般都认为货币值越多 越好。但是这样定义的效用函数不能分辨决策人对风险的态度， 因为它既可以包含厌恶风险的效用函数，也可以包含追求风险的 或风险中立的效用函
6、数。, 效用函数U1类的占优：一个投资组合xA 占优于投资组合xB 当且仅当EU(xA) EU(xB) UU1U0U1 EU0(xA) EU0(xB) U1中的有效集：一个投资组合如果不存在任何其他组合占优于它，则该组合属于ES。对于投资组合xA和xB，如果存在两个效用函数U1和U2 ，使得U1U1 EU1(xA) EU1(xB)U2U1 EU2(xA) EU2(xB),效用函数属于U1的投资者中，一部分偏好于xA，一部分偏好于xB 。 U1中的无效集：IS包括所有无效的投资组合，即对于IS中的任一 元素，至少存在ES中的一个投资组合占优于它。注意：它并不需 要被ES中的所有元素占优。 最优决
7、策规则：占优的充分必要决策规则。 对于一个给定信息集，决策规则是最可行的，意味着给定有关偏好的假设，ES是最小的。对于一个效用函数U，决策规则 是最优的，当且仅当xA xB EU(xA) EU(xB) UU U0U EU0(xA) EU0(xB) 注意：决策规则必须与期望效用一致。,2. 一阶随机占优 （First degree stochastic dominance, FSD） 定理7.1 令F和G是两个不同随机事件的累积分布函数，则F一阶随机占优于G（即对所有的UU1，F FSD G） 当且仅当，对所有的x有F(x) G(x)，且至少存在某点x0，使得 F(x0) EGU0(x) 因此，
8、一阶随机占优是一个最优决策规则，它给出了与期望效用一致的最小有效集ES.,FSD的直观解释是： F(x) G(x) 1-F(x) 1-G(x) x 在F下获得至少为x的货币值的概率大于在G下的相应概率。,如果我们将投资组合视为随机事件，则一阶随机占优有以下几个特点： 如果F FSD G，则F和G不重合，但可以有部分公共点； 无效集IS中的投资组合并不需要被ES中的所有投资组合占优，因为只要被一个投资组合占优即可； 在IS中的一个投资组合可以占优于另一个投资组合；有效集ES中的投资组合一定是相交的。,以下条件是FSD的必要条件： F的期望收益一定大于G的期望收益F FSD G EFx EGx 这
9、可以从分部积分以及至少存在一点x0 ，使得F(x0) G(x0)EFx EGx EFx EGx EFx EGx F(a) = G(a) = 0, F(b) = G(b) = 1,注意，以上讨论没有涉及方差，显然这样定义的效用函数不能分 辨决策人对风险的态度，因为它既可以包含厌恶风险的效用函 数，也可以包含追求风险的或风险中立的效用函数。 F的几何平均一定大于G的几何平均F FSD G 且xi 0 xi 二阶随机占优（Second degree stochastic dominance, SSD） 为研究有风险厌恶性质的效用函数，我们把这类效用函数约束到 U1的一类严格凹函数中，它们在I上有连续
10、的二阶导数，记作,U2 = U UU1, U 在I 上是连续的和有界的，在I0上，U0，且存在x0，使U (x0)0 和I = a, b，且a0 ；对数函数 U(x) = logx，当I 为包含在（0, ）中的一有界闭区间；指数函数 U(x) = -e-cx，当c0 和I = a, 。 下面定理给出二阶随机占优投资规则： 定理6.2 令F和G是两个不同随机事件的累积分布函数，则F二阶随机占优于G，即对所有的UU2，F SSD G 当且仅当，,这定理等价于EFU(x) EGU(x) UU2，且U0U2 s.t. EFU0(x) EGU0(x),SSD的积分条件I(x) 0隐含着F和G之间的直到每
11、一点的累积分布之差（cumulative difference）都是非负的。对于两个分布函数的相交次数没有限制。 直观上，F SSD G 意味着对于F-G的任意非负区域，存在一个负的区域至少在数量上与之相等。所以，比较期望效用的差异,下面的规则是FSD的一个充分条件，意味着它与期望效用并不矛盾。 F FSD G F SSD GF的期望值一定大于或等于G的期望值EFx EGx = F SSD G EFx EGx 注意，积分对于某个x0 必须是严格正的，但是在x = b只需是非负的。 F的几何平均一定大于或等于G的几何平均 F SSD G , “剩余尾部”条件：F SSD G Min F (x)
12、Min G (x) 假设Min F (x) Min G (x)且Min F (x) = xk , 即必要条件不成立 F SSDG 由于SSD对任意的凹效用函数成立，所以对U(x) = -(x-Ex)2也成立。利用这个效用函数，可以证明，如果F SSD G 且有相同的均值EFx = EGx，则G有更高的方差，VarF (x) VarG (x)F SSD G 且EFx = EGx VarF (x) VarG (x) 但是反之不成立 VarF (x) VarG (x) 且 EFx = EGx F SSD G 因此，均值方差准则并不总是与SSD一致的。,4. 三阶随机占优（Third degree s
13、tochastic dominance, TSD）U3 = U UU2, U 在I 上是连续的和有界的，且在I0上，U0 U3类的决策者是风险厌恶的，而且此类决策者遵循TSD规则，更偏好于正的非对称性。 如果两个投资具有相同的均值和方差，则具有U3类效用函数的投资者将会选择最不对称的投资。假设U0隐含着U(x)递减的凹函数。 定理6.3 令F和G是两个不同随机事件的累积分布函数，则F三阶随机占优于G，即对所有的UU3，F TSD G 当且仅当下面两个条件成立，,EFx EGx,F比G更受偏爱可能是由于F有更高的均值、更低的方差或者更高的偏斜。,下面的规则是TSD的一个充分规则，意味着它与期望效
14、用理论不矛盾。 FSD SSD TSD 递减的绝对风险厌恶度隐含着U0，且有这种特征的效用函数类记作Ud，它是U3的子集。随机占优可以在Ud中定义。 假设我们有效用函数的n阶导数的信息，则也可以定义n阶随机占优。随机优势排序和EV排序的关系如果 F = G ，则 F SSD G 或 F TSD G 的必要（但非充分）条件是 F G ，在 SSD的情况应有严格不等式。如果 F G ，则条件F G 对于F FSD G ，或者F SSD G，或者F TSD G，既非必要也非充分。,对不确定后果进行建模，通常有两种方法：随机占优 (stochastic dominance)和均值-风险 (mean-r
15、isk)方法。前者建立在风险厌恶的基础上，但没有提供一个方便的计算方法；后者将两个准则明确地进行量化，但模型中没有体现风险厌恶的态度。特别地，如果以方差作为风险的估计，一般来讲，Markowitz的均值-方差模型与随机占优规则是不相容的。但是，如果以标准半离差（半方差的平方根）作为风险的测度，可使均值-方差模型与二阶随机占优一致，假如交易系数是以常数为上界的。类似地，以绝对半离差或绝对标准离差作为风险的测度，在对称有界的分布下，也有类似的结论。均值风险方法的一种特殊表示方法：最大化形式为的标量目标，其中0是交易系数。,其中 表示随机事件 的指示函数，特别地，当k=1时上式表示绝对半离差,下面给
16、出随机占优和均值风险方法（利用更自然的风险测度）之间的关系。,当k=2时，它表示标准半离差,当交易系数以1为上界的话，用半离差作为风险测度的均值风险模型与随机占优原则是一致的。,K阶随机占优以如下方式定义：,相应的严格占优关系定义为,如果对所有的 有 ，且至少有一个使严格不等式成立，则称 X k阶随机占优于Y（ ）,随机占优的必要条件 满足E|X|k 的随机变量X集合记作 命题 1, 结果风险图（Outcome-Risk） 下图中绝对半离差 ，半方差 是图下方从-到X的部分。, 均值半方差模型 均值风险占优定义为假设交易系数0，可以直接比较 和 的大小。这一方法于均值风险占优在以下意义下是一致的：称一个均值风险模型与k阶随机占优关系是一致的，如果这样的相容关系是很重要的，因为它允许我们寻找非随机占优解。,
