1、3.3.3 导数的实际应用,第三章 导数及其应用,学习目标 1.能利用导数解决实际问题. 2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路,优化问题,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,数学建模,题型探究,例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点
2、，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度).,类型一 几何中的最值问题,解答,(1)将S表示为的函数；,命题角度1 平面几何中的最值问题,5 000(sin sin cos )，(0，).,解 BMAOsin 100sin ， ABMOAOcos 100100cos ，(0，)，,(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.,解答,当变化时，S，S的变化情况如下表：,解 S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)，,即点A到北京路一边l的距离为150 m.,反思与感悟 平
3、面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.,跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.,解答,解 设点B的坐标为(x,0)，且0x2， f(x)4xx2图象的对称轴为x2， 点C的坐标为(4x,0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)，,例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去
4、阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm.,解答,(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？,命题角度2 立体几何中的最值问题,当且仅当x30x，即x15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.,(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,解答,令V0，得0x20； 令V0，得20x30.,反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在
5、此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体 积的最大值为_ cm3.,答案,解析,解析 设矩形的长为x cm， 则宽为(10x)cm (0x10). 由题意可知，圆柱体积为Vx2(10x)10x2x3. V20x3x2.,类型二 实际生活中的最值问题,命题角度1 利润最大问题 例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式
6、y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,解答,所以a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,210(x3)(x6)2，3x6. 从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6). 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.,答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,反思
7、与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润收入成本. (2)利润每件产品的利润销售件数.,解答,跟踪训练3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售 完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解答,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解 当0x10时，,当x(0,9)时，W0；当x(9,10时，W0. 所以当x9时，W取
8、得极大值且为最大值，,综合知，当x9时，W取得最大值38.6. 答 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,解答,命题角度2 费用(用料)最省问题 例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；,解 设隔热层
9、厚度为x cm，,而隔热层建造费用为C1(x)6x. 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,解答,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,当00， 故x5为f(x)的极小值点也为最小值点，,答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最
10、大(小)值.,跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；,解答,且由题意知，函数的定义域为(0,35，,(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？,解答,答 为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶.,令y0，解得x40或x40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35， 所以函数在定义域内没有极值点.
11、又当0x35时，y0，,达标检测,1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件,答案,解析,1,2,3,4,解析 x0，yx281(9x)(9x)， 令y0，解得x9， 又当x(0,9)时，y0，x(9，)时，y0， 当x9时函数取最大值，故选C.,答案,2.在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y 则在这段时间
12、内，通过该路段用时最多的是 A.6时 B.7时 C.8时 D.9时,解析,当t(6,8)时，y0，当t(8,9)时，y0， 故当t8时，y取极大值也为最大值.,1,2,3,4,答案,解析,3.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为 A.2 m3 B.3 m3 C.4 m3 D.5 m3,1,2,3,4,从而V(x)18x18x218x(1x)， 令V(x)0，解得x1或x0(舍去). 当00；,故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值， 从而最大体积为VV(1)9126133(m3).,1,2,3,4,4.要制
13、作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.,答案,解析,160,1,2,3,4,因为当0x2时，y0，当x2时，y0， 所以x2是函数y的极小值点也是最小值点. 所以当x2时，ymin160(元).,1,2,3,4,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x). (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.,规律与方法,
