1、 概率数学史概率，又称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本概念，是一个在 0 到 1 之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量。概率的定义:随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。概率的频率定义: 随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性
2、。R.von 米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于 1933 年给出了概率的公理化定义。概率的严格定义:设 E 是随机试验，S 是它的样本空间。对于 E 的每一事件A 赋于一个实数，记为 P(A)，称为事件 A 的概率。这里 P()是一个集合函数，P()要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A，有 P(A)0;（2）规范性：对于必然事件 S，有 P(S)=1;（3）可列可加性：设 A1，A2是两两互不相容的事件，即对于ij，AiAj=，（i,j=1,2），则有 P（A1A2）=P（A1）+P（A2）+
3、概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验，称为古典试验。对于古典试验中的事件 A，它的概率定义为：P(A)= ，n 表示该试验中所m有可能出现的基本结果的总数目。m 表示事件 A 包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。概率的统计定义:在一定条件下，重复做 n 次试验，nA 为 n 次试验中事件A 发生的次数，如果随着 n 逐渐增大，频率 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则A数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率，记做 P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。 在历史上，第一个对“当试
4、验次数 n 逐渐增大，频率 nA 稳定在其概率 p 上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布伯努利（Jocob Bernoulli，公元 1654 年1705 年）。从概率的统计定义可以看到，数值 p 就是在该条件下刻画事件 A 发生可能性大小的一个数量指标。由于频率 总是介于 0 和 1 之间，从概率的统计定义nA可知，对任意事件 A，皆有 0P(A)1，P()=1，P()=0。、 分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。【生活中的实例】普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称点
5、背，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：1. 六合彩：在六合彩（49 选 6）中，一共有种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在52（周）=年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。2. 生日悖论：在一个足球场上有 23 个人（211 个运动员和 1 个裁判员），不可思议的是，在这 23 人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50。3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等
6、的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是。37184. 三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。【概率的两大类别】 古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结
7、果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为 n，每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件 A 包含 m 个基本事件，则定义事件 A 发生的概率为p（A）mn，也就是事件 A 发生的概率等于事件 A 所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是 P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。几何概率：若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不
8、能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的，还必须考虑试验结果是无限个的情况。为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域 S 表示，其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质，关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念。假设区域 S 以及其中任何可能出现的小区域 A 都是可以度量的，其度量的大小分别用(S)和 (A)表示。如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积等。并且假定这种度量
9、具有如长度一样的各种性质，如度量的非负性、可加性等。几何概率的严格定义:设某一事件 A（也是 S 中的某一区域），S 包含 A，它的量度大小为 (A)，若以 P(A)表示事件 A 发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件 A 发生的概率取为：P(A)=(A)/(S)，这样计算的概率称为几何概率。若 是不可能事件，即 为 中的空的区域，其量度大小为 0，故其概率 P()=0。【独立试验序列】假如一串试验具备下列三条：（1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，P成功=p，P失败=1-p=q；（2）成功的概率p 在每次试验中保持不变；（3）试验与试验之间是相互独立的。则这一串试
10、验称为独立试验序列，也称为 bernoulli 概型。【必然事件与不可能事件】在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用 Z，Y 分别表示第一次和第二次出现的点数，Z 和 Y 可以取值 1、2、3、4、5、6，每一点（Z，Y）表示一个基本事件，因而基本空间包含 36 个元素。“点数之和为 2”是一事件，它是由一个基本事件（1，1）组成，可用集合（1，1）表示“点数之和为 4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3 个基本事件组成，可用集合（1，3），
11、(3，1)，（2，2)表示。如果把“点数之和为 1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于 40”看成一事件，它包含所有基本事件 ，在试验中此事件一定发生，所以称为必然事件。若 A 是一事件，则“事件 A 不发生”也是一个事件，称为事件 A 的对立事件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究。【随机事件，基本事件，等可能事件，互斥事件，对立事件】在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。通常一次实验
12、中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有 n 个，即此实验由 n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。【概率的性质】性质P()=0.性质（有限可加性）当 n 个事件 A1，An 两两互不相容时： P(A1.An)=P(A1)+.+P(An)性质对于任意一个事件 A：P(A)=1-P(非 A)性质当事件 A,B 满足 A 包含于 B 时：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)P(B)性质对于任意一个事件 A，P(A)1性质对任意两个事件 A 和 B，P(B-A)=P(B)-P(AB)性质（加法公式）对任意两个事件 A 和 B，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)（注：A 后的数字，n 都表示下标）
