1、第十二章 全等三角形本章知识解读方案,本章知识梳理,专题一 全等三角形的性质与判定,专题解读：全等三角形的性质是证明线段相等、角相等的最基本的方法，几何图形中线段的和差倍分、位置关系，角的和差倍分都是通过线段相等、角相等来实现的一般三角形全等的判定方法有四种：“SSS” “SAS” “ASA”“AAS”，直角三角形全等的判定方法除了以上四种之外，还有一种判定方法，就是“HL”根据已知条件选择适当的判定方法，是运用三角形全等证明的基本技能依据已知中的关键条件，构造全等三角形，将已知与未知关联起来，证明线段的和差倍分及位置关系是本部分的难点,重点专题探究,例1 如图12-1，BD是ABC的平分线，
2、AB=BC，点P在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别是M,N证明：PM=PN,图12-1,分析：“BD是ABC的平分线，AB=BC ”集中在ABD和CBD中，容易得到ABD CBD（SAS），继而得出BDA=BDC，再由“PMAD，PNCD”证得PM=PN,证明：BD是ABC的平分线， ABD=CBD 在ABD和CBD中，AB=CB,ABD=CBD,BD=BD, ABD CBD（SAS）， ADB=CDB， 即BD是ADC的平分线. 又PMAD，PNCD， PM=PN,专题二 角的平分线的性质及其判定,专题解读：角的平分线的性质往往与三角形全等结合起来综合考查，直接运用角的平分线的性质的题目
3、，一般是较简单的选择题或填空题本部分的难点是借助角平分线构造全等三角形来证明线段或角的数量关系,例2 如图12-2，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC （1）求证：AM平分DAB. （2）猜想AM与DM的位置关系，并证明你的结论,图12-2,分析：（1）过点M作MEAD于点E，根据角的平分线的性质求出ME=MC=MB，再根据角的平分线的判定证明即可；（2）根据平行线的性质求得BAD+ADC=180，证出MAD+MDA=90，即可得出AM与DM的位置关系,（1）证明：如图12-3，过点M作MEAD于点E. DM平分ADC，C=90，MEAD， MC=ME 又M为BC的中点， BM=MC
4、=ME B=90，MEAD， AM平分DAB.,图12-3,（2）解：AMDM.理由如下： B=C=90, BAD+ADC=180 AM平分DAB，DM平分ADC，MAD= BAD，MDA= ADC. MAD+MDA= （BAD+ADC）=90. AMD=90. AMDM,方法点拨：几何题的证明与计算，都离不开对已知图形情境的观察，再根据已知条件猜测、推断分析解题思路比如角的平分线的性质的图形情境，已知角的平分线、角的平分线上一点到角的两边或一边的垂线段，遇此图形能迅速推断出需要用角的平分线的性质来求.,专题三 构造全等三角形证明,专题解读：为了把看似无关联的已知与未知建立联系，需要根据图形的
5、结构特征，挖掘潜在的因素，适当添加辅助线，构造全等三角形，借助全等三角形的性质，探求解决问题的途径.,例3 （1）如图12-4（1），以ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断ABC与AEG的面积之间的关系，并说明理由. （2）园林小路，曲径通幽，如图（2），小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是a米 ，内圈的所有三角形的面积之和是b米 ，这条小路一共占地多少平方米？,图12-4,分析：（1）判断ABC与AEG的面积之间的关系，先观察这两个三角形的边与高之间的关系，由已知条件知，AE=AB，AG=AC，则可以
6、分别作AE，AB边上的高，通过证明三角形全等即可证明面积相等. （2）把问题转化为问题（1）即可求解.,（1）解：ABC与AEG的面积相等. 如图12-5,过点C作CMAB于点M，过点G作GNEA，交EA的延长线于点N，则AMC=ANG=90. 四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，BAE=CAG=90，AB=AE，AC=AG，BAC+EAG=180. EAG+GAN=180， BAC=GAN. 在ACM和AGN中，,MAC=NAG,AMC=ANG,AC=AG, ACM AGN（AAS）， CM=GN. SABC = ABCM, SAEG = AEGN, SABC = SAEG.,图12-
7、5,（2）解：由（1）知，外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，这条小路的面积为（a+2b） .,方法点拨：通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，在构造全等三角形时常添加辅助线的方法为：连线，连接两点构造全等三角形；作垂线，构造两直角三角形全等；截长补短，即在长线段上截取等量短线段或延长短线段至等量长线段，构造全等三角形.,方法一 转化思想,专题解读：在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的目的.一般将复杂的问题转化为简单的问题，将难求的问题转化为易求的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题.,方法技巧盘点,例4 如图12-6，在ABC中，若AD为BAC的平分线，BD=CD.求证：ABC是等腰三角形,图12-7,图12-6,证明：如图12-7,过点D分别作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F. AD平分BAC， DE=DF BD=CD， SABD=SACD. 又SABD= ABDE，SACD= ACDF， AB=AC. ABC是等腰三角形.,方法点拨：在ABD和ACD中，从条件上看是“SSA”，不能通过两个三角形全等证明；结合三角形的中线将问题进行转化，即将该三角形分割成两个面积相等的小三角形，从而进行证明.,下载“倍速课堂APP”，海量学习资源免费使用,
