1、第三章 土中应力计算,3.1 概述3.2 土中自重应力计算3.3 基础底面的压力分布与计算 3.4 地基土中的附加应力,主要内容,土的应力问题是研究地基和工程结构变形及稳定问题的依据,3.1 概述土中应力是指土体在自身重力、建筑物荷载以及其他因素(如土中水渗流、地震等)作用下，土中所产生的应力。,第一节 概述,自重应力,附加应力,建筑物修建以前，地基中由土体本身重量所产生的应力,建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力增量,土中应力,土中应力计算的目的：土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏，甚至使土体发生滑动失去稳定。土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉降，倾斜以及水平位移。,第一节
2、 概述,强度问题 变形问题,应力状态及应力应变关系,E、与位置和方向无关,理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等,碎散体,非线性 弹塑性,成层土 各向异性,连续介质 （宏观平均）,线弹性体 （应力较小时）,均质各向同性体 （土层性质变化不大）,土中应力计算的基本假设,土是三相体，具有明显的各向异性和非线性特征。为简便起见，目前计算土中应力的方法仍采用弹性理论公式，将地基土视作均匀的、连续的、各向同性的半无限体，这种假定同土体的实际情况有差别，但其计算结果尚能满足实际工程的要求。,土力学中应力符号的规定,3.2 土中自重应力计算,目的：确定土体的初始应力
3、状态,一般情况下，土体在自重作用下，经过漫长的地质历史时期，已经压缩稳定，因此，通常自重应力不再引起土的变形。但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力引起的变形。,什么是土的自重应力？ 自重应力：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力。,一般情况下，土层的覆盖面积很大，假定天然土体在水平方向及地面以下都是无限大的，即半无限弹性体，所以在土体在自身重力作用下任一竖直面和水平面都无剪应力存在。,一、均质土竖向自重应力,土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱的有效重量（从天然地面算起）。,均质土中自重应力计算公式: 可以看出，随深度呈线性增加，自重应力呈三角形分布
4、。,值可以在实验室测定。,三、水平向自重应力,土的侧压力系数/静止土压力系数,广义虎克定律推导出理论关系为 。,土的水平向自重应力scx和scy可按下式计算：,二、成层土的自重应力计算,h1,h2,h3,3,2,1,1 h1,1 h1 + 2h2,1 h1 + 2h2 + 3h3,地基土由若干不同重度的土所组成，称为成层土,分布线的斜率是容重。由于i不同，成层图的自重应力分布为折线型。,三、土层中由地下水时的自重应力计算,说明：1.地下水位以上土层采用天然重度，地下水位以下土层采用浮重度。2.非均质土中自重应力沿深度呈折线分布。 3. 在地下水位以下，如埋藏有不透水层，由于不透水层中不存在水的
5、浮力，所以不透水层以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计算。因此在不透水层界面处应力有突变,1 h1,若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度应按浮重度计算，其计算方法如同成层土的情况。,3. 地下水位以下情况 的进一步讨论,液性指数 IL =0，认为是不透水层（坚硬粘土或岩层），对于不透水层，由于不存在水的浮力，所以层面和层面以下的自重应力按上覆土层的水土总重计算。,计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。,值可以在实验室测定。,三、水平向自重应力,土的侧压力系数/静止土压力系数,广义虎克定律推导出理论关系为 。,土的水平向自重应力scx和s
6、cy可按下式计算：,四、例题分析,【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制自重应力cz沿深度的分布图,例题分析,第三节 基底压力分布和计算,基底压力：建筑物荷载通过基础传递给地基的压力，也是地基作用于基础底面的反力，因此又称为地基反力。为计算上部荷载在地基土层中引起的附加应力，必须首先研究基础底面处接触面的压力大小与分布情况。,第三节 基底压力分布和计算,基础底面的压力分布问题是涉及到基础与地基土两种不同物体间的接触压力问题，在弹性理论中称为接触压力问题。这是一个复杂的问题，影响它的因素很多，如基础的刚度、形状、尺寸、埋置深度，以及地基土的性质、荷载大小等。,刚度形状大小埋深
7、,大小 方向 分布,土类密度土层结构等,基础底面的压力分布问题是涉及到基础与地基土两种不同物体间的接触压力问题，在弹性理论中称为接触压力问题。这是一个复杂的问题，影响它的因素很多，主要受荷载条件、基础条件和地基条件的影响,荷载条件：,基础条件:,地基条件：,柔性基础：地基反力分布与作用的荷载分布形状相同；基础底 面的沉降则各处不同，中央大而边缘小。,柔性基础下的基底压力分布 （a）理想柔性基础 （b）路堤下地基反力分布,柔性基础,一、基础底面压力分布的规律,根据基础的抗弯刚度,刚性基础 （即EI ）,绝对柔性基础（即EI ）,基础底面的压力分布主要取决于基础的刚度和地基变形条件,刚性基础下压力
8、分布 （a）马鞍形 （b）抛物线形 (c)钟形,刚性基础：基础不会发生挠曲变形；在中心荷载作用下，基底各点的沉降是相同的；底面的压力分布形状同荷载大小有关。 刚性基础底面的压力分布形状： 荷载较小时，基底压力分布是马鞍形，中央小而边缘大（理论上边缘应力为无穷大） ； 荷载较大时，基底压力呈抛物线形分布，这是由于基础边缘应力很大，使土产生塑性变形，边缘应力不再增加，而使中央部分继续增大，基底压力重新分布的结果； 若荷载继续增大，则基底压力会继续发展而呈钟形分布。,刚性基础,简化计算方法： 假定基底压力按直线分布的材料力学方法,现场实测结果： 一般距基底的深度超过基础宽度的1.52.0倍时，它的影
9、响已很不显著。,二、基底压力的简化计算方法,1. 中心荷载作用下的基底压力,若是条形基础，F, G取单位长度基底面积,F：上部结构传至基础顶面的竖向力G：基础自重及基础上的土重G= GAdA：基础底面面积G：基础及回填土平均重度,一般取为20KN/m3d：基础埋深，取室内外平均埋深计算,上部荷载的合力通过基础底面形心点时，基底压力假定为均匀分布：,L,2. 偏心荷载作用下的基底压力,e,l,作用于基础底面形心上的力矩M=(F+G)e,基础底面抵抗矩；矩形截面W=bl 2/6,b,讨论：,当e0，基底压力呈梯形分布;,当e=l/6时，pmax0，pmin=0，基底压力呈三角形分布;,当el/6时
10、，pmax0，pmin0，基底出现拉应力；,但基底与土之间是不能承受拉应力的，产生拉应力部分的基底将与地基土脱开而不能传递荷载 ，基底压力重新分布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。,基底压力重分布,偏心荷载作用线应与基底压力的合力作用线重合,l,b,el/6,l/2-e,基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加的压力称为基底附加压力。 建筑物建造前，土中早已存在自重应力，天然土层在自重应力作用下的变形早已结束，只有基底附加应力才能引起地基的附加应力和变形 由于浅基础总是埋于地面下一定深度处，该处原有的自重应力由于开挖基坑而卸除。因此，基底压力扣除基底标高处原有土体的自重应
11、力后，才是基底平面处新增于地基的基底附加应力。,三、基底附加压力,基底附加压力在数值上等于基底压力扣除基底标高处原有土体的自重应力,基底压力呈梯形分布时，基底附加压力p0max, p0min为,基底附加压力,自重应力,基底附加压力计算：,基底附加压力计算,第四节 地基土中的附加应力,本节首先讨论在竖向集中力作用时土中的应力计算。在实践中是没有集中力的，但它在土的应力计算中是一个基本公式，应用集中力的解答，通过叠加原理或者数值积分的方法可以得到各种分布荷载作用时的土中应力计算公式。,土中的附加应力是由于修建建筑物之后在地基内新增加的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉降的主要原因,集中荷载作
12、用下的附加应力 矩形分布荷载作用下的附加应力 条形分布荷载作用下的附加应力 圆形分布荷载作用下的附加应力,基本解,叠加原理,第四节 地基土中的附加应力,计算基本假定：,不同地基中应力分布各有其特点,平面问题,空间问题,地基土是连续、均匀、各向同性的半无限完全弹性体，可直 接采用弹性力学半空间理论解答,计算地基附加应力时，把基底压力看成是柔性荷载，不考虑 基础刚度的影响。,一、竖向集中力作用下的地基附加应力 均匀、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力P,1、布辛奈斯克解,（P；x,y,z；R, , ),P,法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该问题的理论解，包
13、括六个应力分量和三个方向位移的表达式,教材P48页,其中，竖向应力z：,集中力作用下的 应力分布系数 查表32,应力及位移分量计算公式，在集中力作用点处是不适用的： 点荷载客观上不存在，都需通过一定接触面积传递； 当局部土承受足够大应力时，将因塑性变形而发生应力转移，弹性理 论已不再适用。,z与无关，呈轴对称分布,【例题】 在地面作用一集中荷载p =200kN，试确定： (1)在地基中z=2m的水平面上，水平距离r=1、2、3和4m各点的竖向附加应力值，并绘出分布图； (2)在地基中r=0的竖直线上距地面z=0、1、2、3和4m处各点的值，并绘出分布图； (3)取=20、10、4和2kN/2，
14、反算在地基中z=2m的水平面上的r值和在r=0的竖直线上的z值，并绘出相应于该四个应力值的等值线图。,【解】：(1)在地基中z=2m的水平面上指定点的附加应力z的计算数据，见表3-1；的分布图见图3-1。,(2)在地基中r=0的竖直线上指定点的附加应力z的计算数据，见表3-2；的分布图见图3-2。,(3)当指定附加应力z 时，反算得水平面z=2m上的r值和在r=0的竖直线上的z值的计算数据，见表33；附加应力z的等值线绘于图33。,表3-1,图3-1,表3-2,图3-2,图3-3,表3-3,P作用线上 距该力作用点愈远，z愈小，因z愈大， 应力分布面积愈大 在某一水平面上 随r增大， z迅速减
15、小； 浅处的水平面上， z数值较大，但衰减较快； 深处的水平面上， z数值较小，但衰减较慢， 应力扩散较远 在r0的竖直线上 半无限体表面处，随着深度， z逐渐，在某深度处 达到最大值，然后随z继续增加， z快速减小 z等值线-应力泡,叠加原理：,由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的代数和。对于线弹性体，可以应用叠加原理。,两个集中力作用下z的叠加,二、竖向分布荷载作用下的地基附加应力,计算原理：（等代荷载法）将分布荷载分割为许多集中力，采用布希奈斯克公式计算各集中力作用的土中应力，再运用叠加原理（积分）计算最终的土中应力。,角点下
16、的垂直附加应力：B氏解的应用,P53页（3.18）,m=l/B, n=z/b,矩形竖直向均布荷载角点下的附加应力分布系数：表3.6,1、均布矩形荷载作用下的地基附加应力,（一）空间问题,任意点的垂直附加应力角点法,荷载与应力间满足线性关系,叠加原理,角点计算公式,任意点的计算公式,在矩形面积上作用均布荷载时，若要求计算非角点下的土中竖向应力，可先将矩形面积按计算点位置分成若干小矩形，在计算出小矩形面积角点下土中竖向应力后，再采用叠加原理求出计算点的竖向应力z值。这种计算方法一般称为角点法。,角点法计算地基附加应力,I,II,III,IV,角点法计算地基附加应力,计算点在基底边缘,计算点在基底边
17、缘外,角点法计算地基附加应力,计算点在基底角点外,【例题】,有两相邻基础A和B，其尺寸、相对位置及基底附加压力分布见右图，若考虑相邻荷载的影响，试求A基础底面中心点o下2m处的竖向附加应力,分析,o点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应力之和，根据叠加原理可以分别进行计算,A基础引起的附加应力,zA=4Kc pA,zB=（Kc1- Kc2- Kc3+ Kc4）pB,B基础引起的附加应力,p,M,t1:角点1（零荷载边）下的应力分布系数,o,t2：角点2（最大荷载边）下的应力分布系数,表3.7,这里b值不再是指基础的宽度，而是指三 角形荷载分布方向的基础边长！,2、矩形面积上三角形荷载作用下
18、的地基附加应力,3圆形面积上作用均布荷载时,竖向应力的表达式,其中 R 圆面积的半径，m；r 应力计算点M到z轴的水平距离，m； 应力系数，它是(r/R)及(z/R)的函数，查表3.8,圆形面积,（二）、 平面问题,设在地基表面上作用有无限长的条形荷载，且荷载沿宽度可按任何形式分布，但沿长度方向则不变，在计算土中任一点M的应力时，只与该点的平面坐标（x，z）有关，而与荷载长度方向Y轴坐标无关，这种情况属于平面应变问题。此时地基中产生的应力状态属于平面问题。在工程建筑中，当然没有无限长的受荷面积。但当荷载面积长宽比l/b10时，计算的地基附加应力值与按l/b=时的解相比误差很小。因此，对条形基础
19、（墙基、路基、坝基）可按平面问题考虑。,平面问题,- B氏解的应用,线荷载：半空间表面上一条无限长直线上的均布荷载,1、线荷载作用下的地基附加应力 - 弗拉曼解,任意点的附加应力：F氏解的应用,2. 均布条形荷载作用的附加应力,均布条形荷载作用时的应力分布系数：表3.9,在土体表面作用分布宽度为b的均布条形荷载p 时,土中任一点的竖向应力可采用弹性理论中的弗拉曼（Flamant）公式在荷载分布宽度范围内积分得到：,注意坐标轴的原点是在均布荷载的中点处!,均布条形荷载下地基附加应力z分布规律：,均布条形荷载下地基附加应力分布规律：,(a)等z线(条形荷载)；(b)等z线方形荷载；(c)等x线(条
20、形荷载)；(d)等xz线条形荷载,地基附加应力等值线,条形荷载z影响深度比方形荷载大得多：如方形荷载中心下z=2b处z0.1p0，而条形荷载 z0.1p0等值线则约在中心下z6b处通过； x及 xz影响深度较浅，而z影响深度很深，表明竖向变形范围大而深，而侧向变形、剪 切变形则主要发生在浅层； xz的最大值出现在荷载边缘，故位于基础边缘下的土容易发生剪切滑移而首先出现塑性区。,3三角形分布条形荷载作用,在土体表面作用宽度为b的三角形分布条形荷载（最大值为p)时,土中任一点的竖向应力可采用弹性理论中的弗拉曼（Flamant）公式在荷载分布宽度范围内积分得到：,均布条形荷载作用时的应力分布系数：查
21、表,注意坐标轴的原点是在三角形荷载的零点处!,【例题】,【例】某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载F=400kN/m，M=20kNm，试求基础中点下的附加应力，并绘制附加应力分布图,分析步骤I：,1.基底压力计算,基础及上覆土重G= GAd G取20kN/m3,荷载偏心距e=M/(F+G),条形基础取单位长度计算,M=20+400*0.1=60 kNm/mG=20*2*1.5=60 kN/me=60/ (400+60)=0.13 m Pmax=(400+60)/(2*1)*(1+6*0.13/2)=319.7 kPa Pmin=(400+60)/(2*1)*(1-6*0.13/2)=140.
22、3 kPa,分析步骤I：,分析步骤:,2.基底附加压力计算,基底标高以上天然土层的加权平均重度,基础埋置深度,分析步骤:,Pmax=319.7 kPa-18.5*1.5=292kPa Pmin=140.3-18.5*1.5=112.6kPa,分析步骤:,3.基底附加压力计算,分析步骤:,分析步骤:,地基附加应力分布曲线,4.基底中点下地基附加应力计算,分析步骤:,例：当z=0时，对于矩形均布条形荷载部分，由 m=x/b=0,n=z/b=0，查表3。9得：1 对于三角形分布条形荷载部分，此时坐标原点在三角形零点处：由m=x/b=0。5,n=z/b=0，查表得0。5 故基底面中心点处即z=0处地基附加应力为：112。61179。40。5202。2kPa,
