1、文件 sxcbk0009.doc科目 数学关键词 初中/代数/期末/总复习/教法标题 代数期末总复习内容代数期末总复习目的与要求：1.使学生理解每章的知识要点并灵活应用；2.使学生了解二元一次方程组和它的解的概念，灵活运用代入法，加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组，并能列出二元、三元一次方程组解应用题。3.使学生了解不等式，一元一次不等式、一元一次不等式组以及它们的解集等概念，掌握不等式的基本性质，并能用它们解一元一次不等式，掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集。4.使学生掌握幂的运算性质和整式的乘除法则，灵活运用乘法公式进行计算，会进行整式的加、减、乘
2、、除、乘方的较简单的混合运算。知识要点：一、概念1.二元一次方程：一个方程含有两个未知数，并且未知数的次数是 1，像这样的方程，称做二元一次方程。2.二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。4.二元一次方程的一般形式是 axbyc二元一次方程组的一般形式是 11225.不等式：用不等号表示不等关系的式子，称做不等式。6.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。7.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解
3、不等式。8.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0，我们把这样的不等式叫做一元一次不等式。9.一元一次不等式的标准形式： 或axb 0xa 0()10.一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。11.解不等式组：求不等式组的解集的过程，称做解不等式组。二、二元一次方程组的解法1.代入消元法，简称代入法，它的一般步骤是：(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y，用含 x 的代数式表示出来，也就是写成 的形式；yaxb(2)将 代入另一个方程中，消去 y，得到一
4、个关于 x 的一元一次方程组；yaxb(3)解这个一元一次方程，求出 x 的值；(4)把求得的 x 的值代入 中，求出 y 的值，从而得到方程组的解。y2.加减消元法，简称加减法，它的一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数乘以方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。3.三元一次方程组三元一次方程的一般形式是 ，在一般情形下，三元一次方程有
5、无穷多axbyczd个解。三元一次方程组：由几个一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组，它的一般形式是： axbyczd112233三元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元，先消去同一未知数得到二元一次方程组，解这个二元一次方程组求出两个未知数的值，然后再求第三个未知数的值。说明：解方程组的基本思路是“通过消元”把多元方程转化为一元方程。三、性质及法则、公式1.不等式的三条基本性质：(1)不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；(2)不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
6、。2.同底数幂的乘、除法法则(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（m，n 都是正整数）amn(2)同底数幂相除，底数不变，指数相减；（ ，m ，n 都是正整数，mn）a03.幂的乘方与积的乘方(1)幂的乘方，底数不变，指数相乘；（m，n 都是正整数）()an(2)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（n 为正整数）b4.单项式的乘法与多项式的乘法(1)一般地，单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。(2)一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。(3
7、)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。5.任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。任何不等于 0 的数的P 次幂（P 是正整数） ，等于这个数的 P 次幂的倒数。6.单项式除以单项式，多项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一次除以这个单项式，再把所得的商相加。7.乘法公式：()()xabxab2平方差公式完全平方公式2立方和（差）公式()23四、列方程（组）解应用题列方程（组）解应用题的一般步骤是：审题：透彻理解题意，明确哪些是已知
8、数，哪些是未知数，以及它们之间的关系；设未知数：根据题意，选择适当的未知数用字母表示出来；列代数式：根据题中所给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其它的未知数；列方程（组）：利用列代数式时没有用过的等量关系，列出方程（或方程组） 。解方程（组） ；检查方程（或方程组）的解是否符合题意，并根据应用题的实际意义，写出答案。在以上的步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。列方程时，要注意列出的方程必须满足三个条件：第一，方程两边表示同类量。第二，方程两边的同类量的单位一样。第三，方程两边的数值相等（等量） 。如果所列方程或方程组中有分式方程，既要检验是否是原方程的解，又要检验是否符合应用题
9、的题意。五、一元一次不等式（组）的解法解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但一定要注意当不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变。解一元一次不等式组应分别求出该不等式组的每一个不等式的解集，再求这些解集的公共部分。由两个一元一次不等式组成的不等式组成的不等式组，经过整理，可以归纳为以下四种形式： xabxabxabxab如果 ，那么它们的解集分别是 ；空集； ； x b含有绝对值符号的不等式：不等式 的解集是 ，不等式 的解集是|()xa 0ax |()a 0。xa 或 重点与难点分析：重点：二元一次方程组的解法：列出二元一次方程组解简单应用题；一元一次不等式的解法
10、；整式的乘除法。难点：列二元一次方程组解应用题；不等式的解集和不等式组的解集以及运用不等式基本性质 3；乘法公式的运用。典型例题：例 1、解方程组或不等式（组）().()|()()(5)()|143257213324251763610324yxxxyzxxx 5解：(1)将原方程组去掉分母整理成 713yx 3得 4y，将 代入得y4x15方程组的解为 y4解：(2) xx 即 155|故不等式组的解为 (3)法一：xyz23得 x1得 ， 代入 24zz2代入y0 z12法二：+得 6()xyz即 xy3得 ；z1得 ； 得 0(4)3425176x 由得 ；由得 ；由得x x 2x 1不等
11、式组的解为 解：(5) 0521xyz102 或 56021x 56021x由 x 25 x由 无解x 6512原不等式的解为 65 x(6)移项得 |x17去负号 去绝对值符号 即 68 x例 2、求值：(1)已知： （ ） ，求 x : y 和 y : z？430xyzyz0， ，(2)计算：m 取什么整数时， 的解是正数？是正整数？求出它的解。24xm(3)已知方程组 的解满足 求 a 的取值范围？2341xyaxy 0(4)已知： ，求 n 的值。81n(5)已知： 求 ， 的值。xx3x2(6) 除以 的余式为 ，求 的值。23754ab(7)已知 ，求 x 的取值范围。|14解：(
12、1) 0xyz得： 即 34xz34将代入，得 30zy即 7 yz:97将代入，得 x340即 7y x:127 ，xy:127yz:9解：(2) 40m2 得： ()ym4由得： x284由题意： ， 即 ， 0y 0 4当 m 为大于4 的整数时，方程组的解为正数。要使 x，y 都为正整数， 就必然能被 4 整除，且 m + 40，分解因数 4 = 14 = ()22 m124， ， 30， ，再将 分别代入 得：m， ， xym84当 时， ；当 m =2 时， ；当 m = 0 时，3xy84x2xy21说明：此小题涉及到了整除的特征：尾数是 0、2、4、6、8 的数能被 2 整除。
13、尾数是 0，5 的数能被 5 整除。最后两位数若能被 4 整除，则这个数本身就能被 4 整除。如：312，124 = 3，312 能被 4 整除。最后三位数若能被 8 整除，则这个数本身就能被 8 整除。如：4816，8168 = 102，4816 能被 8 整除。各个数位的和若能被 3 整除，则这个数本身能被 3 整除。解：(3) 2341xya32 得： 443 得： x85由题意令 ， 得： 0y 013a 51843 a解：(4) 281n4321624n() n解：(5) xxx3211()()x32将 代入得：x14325xx2241()解：(6)53207651583922243
14、232xxxxxx由此可见余式 92x由题意 ab a， b1()解：(7)去掉绝对值符号，就得分段考虑：1)当 时， 式中出现 x 和原等式不符。x 1|()xx552)当 x 5 时， 式中出现 x 和原式不符。|3)当 1x5 时， 和原式相符，因此 1x 5。| (114此题是把整个数轴分为三部分考虑的，因为要去掉绝对值符号，必须分清绝对值符号内的数的正负，这样就得分段考虑，这是在处理含绝对值符号的不等式、等式、方程中常用的方法。例 3、计算：(1)不等式 的解集是 x2，求 a 的值。124xax(2)k 为何值时，关于 x 的方程 的解是正数？52k()(3) ()()2323xy
15、y(4)1001999(5) (abcdabcd(6) ()()ab2 2解：(1) 314xx()axa 24由题意，原不等式的解集是 x2令 ，6(2) 25xk()5210()x解得： x9014由题意 x0故令 2k解得 9()()322444833262323236246585xyxyxyxyxy(4) 1001999()()101019(5) )abcdabcd()()()acbdac22222()()()()6 441 2222 bb例 4、解应用题：(1)有浓度为 4%的盐水若干克，蒸发了一些水分后，变成 10%的盐水，再加进 300 克的 4%的盐水，混合后变为 6.4%的盐
16、水，问最初的盐水多少克？分析：设最被的盐水有 x 克，蒸发掉的水量为 y 克，先考虑蒸发前后的情况：蒸发前盐的重量为 x4%克蒸发后盐水的重量为 克，其中盐的重量为 10%克由蒸发前后盐的重量()y()x相等可行到 xy4%10()再考虑混合前后的情况，根据混合前后盐的重量相等可得到因此此题可解。3()xy3064%.解：设最初的盐水有 x 克，蒸发掉的水有 y 克，依题意列出方程组为xyx4%103364%().化简为 589 克x0答：最初的盐水有 500 克。(2)甲、乙两人在 400 米环形跑道上同一起跑点同时相背起跑， 25 秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后乙也从该点同向出发追
17、赶甲，再过 3 分钟乙才赶上甲，求甲、乙两人的速度（假设两人速度都是不变的） 。解：设甲、乙的速度分别为每秒 x，y 米，则可列出方程组 254063().xy 化简为 xy1635.由得 代入解得 （米/秒）y8.代入解得 （米/秒）x74答：甲的速度为 7.4 米/秒，乙的速度为 8.6 米/ 秒。此题是行程问题中的追及问题，背向跑时甲、乙速度和与相遇时间相乘应等于一圈的距离，因此列出方程 ，甲实际跑了 3 分半钟时乙才追上甲，因此甲 3.5 分钟跑的距离应 是乙 3 分钟跑的距离，因此可列出方程 。解此题时要注意单位，要以秒为单位就都化 为秒，要以分为单位，就在把秒化为分，两个方程的单位
18、要一致。测试题：一、填空：设 ，用不等号填空：ab， 12123a13b 的解集是 3x ()112ab cd不等式组 的解集是 243x （其中 n 是大于 4 的自( )()16931xxxnnn然数） 。一个多项式除以 的商为 ，余式为 ，则这个多项式是 (422()21x方程组 的解是 )xyx11若 n 为正整数，且 ，则 = a()an21若 是方程组 的解，则xy21mxyn8m二、求值：已知 ，求代数式 的值。43027abc236572abc已知二次三项式 与 的积不含 项，也不含 x 项，求系数 ax211xx3与 b 的值，并求这个积。三、列方程解应用题已知某一铁路桥长
19、1000 米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过桥共用 1 分钟，整列火车完全在桥上的时间为 40 秒钟，求火车的长度和速度。用浓度为 5%和 50%的两种盐水溶液混合成浓度为 25%的盐水，求两种浓度的溶液取量之比。测试题答案与提示：一、，；x12； ； ；1x4；13ababcd22 ； ； ；1；xxnn12344534xxy my二、提示：由原式得到 即 ，代入代数式得到值为 1。43627abca32 ， ，积为 。a2b351x三、火车长度 200 米，火车速度 20 米/秒。提示：设火车长为 x 米，速度是 y 米/ 秒，可列出方程：10624yx()5 : 4 提示：设 5%的盐水重量是 x，50% 的盐水重量是 ax， （a 为常数） ，则可列出方程： 即025axa05205a从而求得 ，故所求为 5 : 4
