1、数列例题解析【例 1】 求出下列各数列的一个通项公式()423， ， ， ， ， ， ， ， ，856732941()42851249， ， ， ， ， ， ，解 (1)所给出数列前 5 项的分子组成奇数列，其通项公式为 2n1，而前 5 项的分母所组成的数列的通项公式为 22n，所以，已知数列的通 项 公 式 为 ： a=2n1+(2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n，而分母组成的数列 3，15，35，63，可以变形为13，35，57，79，即每一项可以看成序号 n 的(2n 1) 与 2n1 的积，也即(2n 1)(2n1)，因此，所给数列的通项公式为： a
2、n21()(3)从所给数列的前 5 项可知，每一项的分子都是 1，而分母所组成的数列 3，8，15，24，35，可变形为 13，24，35，46，57，即每一项可以看成序号 n 与 n2 的积，也即 n(n2) 各项的符号，奇数项为负，偶数项为正因此，所给数列的通项公式为： ann()()2(4)所 给 数 列 可 改 写 为 ， ， ， ， ， 分 子 组 成 的 数 列 为12491651，4，9，16，25，是序号 n 的平方即 n2，分母均为 2因此所给 数 列 的 通 项 公 式 为 a=n2【例 2】 求出下列各数列的一个通项公式(1)2，0，2，0，2，(2)100， ， ， ，
3、 ， ， ， ， 3157(3)7，77，777，7777，77777，(4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，解 (1)所给数列可改写为 11，11，11，11，可以看作数列 1，1，1，1，的各项都加 1，因此所给数的通项公式 an(1)n+11所给数列亦可看作 2，0，2，0周期性变化，因此所给数列的通 项 公 式 为 奇 数为 偶 数 这 一 题 说 明 了 数 列 的 通 项 公 式 不 唯 一 a=(n)n(2)10012345所 给 数 列 ， ， ， ， ， ， ， 可 以 改 写 成 ， ， ， ， ， 分 母 组 成 的 数 列 为 ， ， ， ，
4、 ， ， ， 是 自 然3571023041567 67数列 n，分子组成的数列为 1，0，1，0，1，0，可以看作是 2，2， ， ， ， ， 的 每 一 项 的 构 成 为 ， 因 此 所 给 数 列 的 通项 公 式 为 121()()nnna(3)779所 给 数 列 ， ， ， ， ， 可 以 改 写 成 ，7999797， ， ， ， 可 以 看 作 ， ， ， ， ， 因 此 所 给 数 列 的 通 项 公 式 为 (10)(10)(10)(10)a= nn(4)所给数列 0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，可以改写成 ， ， ， ， ， 可 以 看作 ，
5、 ， ， ， ， 因 此 所 给 数 列 的 通 式 公 式 为 292929292910000.(1.)(1.)(1.)(.)0. a=nn说明1用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来2对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，a n=n；自然数的平方数列，a nn 2；奇数数列，a n2n1；偶数数列，a n=2n；倒 数 数 列 ， 要 很 熟 悉 ， 由 联 想 将 较 复 杂 的 数 列 通 过 合 理 的 转 化 归n)纳出数列的通项公式3要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以
6、某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列 【 例 】 已 知 数 列 ， ， ， ， 则 是 这 个 数 列 的 第25125几项 解 4 a=3n1 n77由 所 给 数 列 的 前 项 ， ， ， 可 归 纳 得 通 项 公 式 为 此 时 运 用 方 程 的 思 想 问 题 转 化 为 解 关 于 正 整 数的 方 程 ， 解 得 ， 即 是 该 数 列 的 第 项 253125 n【例 4】 已知下面各数列a n的前 n 项和 Sn 的公式，求数列的通项公式(1)Sn2n 23n (2)Snn 21(3)Sn2 n3 (4)S n(1) n+1n解 (1)当 n=1 时，
7、a 1=S11；当 n2 时，a nS nS n-1=(2n23n)2(n1) 23(n1) 4n5，由于 a1 也适合此等式，因此 an=4n5(2)当 n1 时，a 1S 1=11 2；当 n2 时，a nS nS n-1=n21(n1) 21 2n1，由于 a1 不适合于此等式， 因 此 ， 且 = nN*n(3)当 n1 时，a 1=S123=5；当 n2 时，a n=SnS n-12 n3(2 n-13)2 n-1，由于 a1 不适合于此等式，因 此 ， 且 a5 n=12*1nN(4)当 n1 时，a 1S 1=(1) 21=1；当 n2 时，a nS nS n-1=(1) n+1
8、n( 1) n(n1)=(1) n+1(2n1)，由于 a1 也适可于此等式，因此 an(1) n+1(2n1)，n N*说明 已知 Sn 求 an 时，要先分 n1 和 n2 两种情况分别进行计算，然后验证能否统一 【 例 5】 = ()a1n1已 知 ， ，(1)写出数列的前 5 项；(2)求 an解 (1)a (n2)a=1an123由 已 知 ， 得 3965()a45 152174740395(2)由第(1)小题中前 5 项不难求出 anan2121()或【例 6】 数列a n中，a 11，对所有的 n2，都有a1a2a3ann 2(1)求 a3a 5；()6是 此 数 列 中 的
9、项 吗 ？解 由已知：a 1a2a3ann 2 得aaanNn12312 2 ， ， 由 于 不 适 合 于 此 等 式 因 此 (*)()a1= n=1 n2*n2()N1， 且 (1)a32n=16n16*352令 ， 解 方 程 可 得 ， 是 此 数 列 的 第 项 46265N()说明 (1)“知和求差” 、 “知积求商”是数列中常用的基本方法(2)运用方程思想求 n，若 nN* ，则 n 是此数列中的项，反之，则不是此数列中的项【例 7】 已知数 an=(a21)(n 32n)(a= 1)是递增数列，试确定 a 的取值范围解法一 数列a n是递增数列， a n+1a nan+1a n(a 21)(n1) 32(n1) (a 21)(n 32n)(a 2 1)(n1) 32(n1)n 32n(a 2 1)(3n23n1)(a 2 1)(3n23n1)0又nN*，3n 23n1=3n(n1)10a 210，解得 a1 或 a1解法二 a n是递增数列， a 1a 2 即：(a21)(12)(a 21)(84)化简得 a210a1 或 a1说明 本题从函数的观点出发，利用递增数列这一已知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题
