1、3.2.1 对数及其运算1对数的概念在指数函数 ya x(a0，且 a1)中，对于实数集 R 内的每一个值 x，在正实数集内都有唯一确定的值 y 和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值 y，在 R 内都有唯一确定的值 x 和它对应因此，在式子 ya x中，幂指数 x 又叫做以 a 为底 y 的对数例如：因为 4216，所以 2 是以 4 为底 16 的对数；因为 414，所以 1 是以 4 为底 4 的对数；因为 ，所以 是以 4 为底 的对数1=12 12一般地，对于指数式 abN，我们把 “以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN，即blog aN(a0，且 a1)其中，数
2、a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以 a 为底 N 的对数” 对数的定义可以从以下三个方面来理解：(1)对数式 blog aN 是指数式 Na b的另一种表达形式，其本质相同对数式中的真数N 就是指数式中的幂值 N，而对数式中的对数 b 就是指数式中的指数 b，对数式与指数式中各个量的关系如图所示(2)对于对数式 blog aN，只有在 a0，且 a1，N0 时才有意义当 a0，N 为某些数值时， b 不存在，如(2)x3 没有实数解，所以 log(2) 3 不存在，为此，规定 a 不能小于 0，并且由指数函数的定义也可知 a 不能小于 0.当 a0，且 N0 时，log aN
3、不存在，为此，规定 a0.当 a1，且 N 不为 1 时， b 不存在，如 log12 不存在；而 a1，N1 时，b 可以为任何实数，不能确定为此，规定 a1.在 logaNb 中，必须 N0.这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而在 abN 中，N 总是正数；0 和负数没有对数(3)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：名称来源: 来源 :来源:式子a b N指数式 abN 底数 指数 幂值对数式 blog aN 底数 对数 真数【例 11】已知 3m7，则有( )A3log 7m B7log 3mCmlog 73 Dmlog 37解析：由于 ax N xlog aN，则
4、3m7 mlog 37.答案：D【例 12】完成下表指数式与对数式的转换题号 指数式 对数式(1) 1031 000(2) log392(3) log210x解析：(1)10 31 000 log101 0003；(2)log392 329；(3)log210x 2x10.答案：(1)log 101 0003；(2)3 29；(3)2 x10.【例 13】求下列各式中 x 的值：(1)log2(log5x)0；(2)log x27 ；(3)xlog 84.4解：(1)log 2(log5x)0，log 5x1.x5 15.(2)log x27 ， 27.x 3 481.3434(27)(3)x
5、log 84，8 x4.2 3x2 2.3x2，即 .=2对数恒等式与对数的性质(1)根据对数的 定义，可得对数恒等式 .例如 等需注意，当幂的底logaN 3log5数和对数的底数相同时，对数恒等式 才适用l(2)根据对数的定义，对数 logaN(a0，且 a1)具有下列性质：零和负数没有对数，即 N 0；1 的对数为 0，即 loga10 ；底的对数等于 1，即 logaa 1.【例 2】已知 log7log3(log2x)0，那么 等于( )12xA B C D36439解析：由 log7log3(log2x)0 ，得 log3(log2x)1，log 2x3， x2 38. .1=8答
6、案：C3常用对数与自然对数(1)以 10 为底的对数叫做常用对数为了简便，通常把底数 10 略去不写，并把“log”写成“lg” ，即把 log10N 记作 lg N.以后如果没有特别指出对数的底，都是指常用对数例如：100 的对数是 2，就是指100 的常用对数是 2，即 lg 1002.常用对数的性质：()lg 1 0；( )lg 101；()10 lg NN (N0) (2)以 e 为底的对数叫做自然对数(其中 e2.718 28 )log eN 通常记作 ln N.自然对数有如下性质：ln e1；e ln aa(a0)【例 3】有以下四个结论：lg(lg 10)0 ；ln(ln e)0
7、；若 10lg x，则x10；若 eln x，则 x e2.其中正确的是( )A B C D答 案：C4对数的运算法则如果 a0，且 a1，M0， N0，那么：(1)loga(MN)log aMlog aN.对于(1)，又可表述为：正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和( 简言之：积的对数等于对数的和)此性质可以推广到若干个正因数的积：loga(N1N2Nk)log aN1 logaN2log aNk.(2) log aMlog aN.log对于(2)，又可表述为：两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数(简言之：商的对数等于对数的差) (3)logaM logaM.对于(
8、3)，又可表述为：正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数由(3)可推出对数的几个常用结论：log a logaM；log a log aM；log a logaM，其中nM1n 1M pMn npM0， n，pN ，n，p1.谈重点 牢记对数运算法则及其成立的条件1要把握好对数运算法则及其成立的条件，特别是经常将对数的加减乘除与真数的加减乘除混淆注意：loga(MN)(log aM)(logaN)；loga(MN )log aMlog aN；loga .MN logaMlogaN2指数与对数运算性质对比表：指数 对数amana mn loga(MN)log aMlog aNa mna
9、manloga log aMlog aNMN性质(am)na mn logaMnnlog aM3对数运算法则口诀：积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前【例 41】计算：(1)2log 122log 123；(2)lg 500lg 5.解：(1)原式log 1222log 123log 124log 123log 12121.(2)原式 lg 100lg 10 22lg 102.50lg【例 42】已知 lg 20.301 0，lg 30.4 77 1，求 .lg45分析：可以将 转化为只含有 lg 2 和 lg 3 的形式l解： g512 4=lg 5 lg(59)
10、(lg 5lg 9)12 (1 lg 22lg 3) ，20l31又lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg (10.301 020.477 1)0.826 6.4512点技巧 巧用常用对数的变形由于 lg 2lg 5lg 101，所以 lg 51lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论5换底公式(1)设 logbNx，则 bxN.两边取以 a 为底的对数，得 logabxlog aN，得xlogablog aN，所以 x ，即 logbN .logaNlogab logaNlogab即换底公式：log bN .logaNlogab(2)公式作用：利用换底公式可以把不同底的对数化为
11、同底的对数，这是解决关于对数运算问题的基本思想方法【例 51】 的值是( )82l93A BC1 D2解析：思路一：将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即 .82lg9lol32=3l思路二：将分母利用换底公式转化为以 2 为底的对数，即 .2822og9lll3=3答案：A【例 52】计算 .23511loglog89解：原式 12.ll2lg312l5gl3=ll6对数定义中的隐含条件根据对数的定义，对数符号 logaN 中实数 a 和 N 满足的条件是底数 a 是不等于 1 的正实数，真数 N 是正实数因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件【例 6】已知对数 l
12、og(1a) (a 2)有意义，则实数 a 的取值范围是_解析：根据对数的定义，得20,1,解得2a0 或 0a1.答案：(2,0) (0,1)7对数的化简、求值问题(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆” ，将积、商的对数拆成对数的和、差如log3 log 35log 39log 35log 35log 392.95二是“收” ，将同底数的对数和、差合成积、商的对数如，log 3 log 35log 3 log 392.95 (955)三是“拆”与“收”相结合(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式通常是先分别换底，化简后再将底数统一进行计算也可以在方
13、向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如 lg 2lg 51，log ablogba1 等【例 7】求下列各式的值：(1) ；lgl8g0.(2)2log32 log 38log 5125；lo9(3)log2(1 )log 2(1 )3分析：根据各个式子的特点，综合运用积、商、幂的对数公式变形求解解：(1)原式 .3223lg2(lg21)lgl10 3=431(2)原式2log 32(log 325log 332)log 323log 5532log 32(5log 322)3log
14、323 2log 325log 3223log 3231.(3)log2(1 )log 2(1 )log 2(1 )(1 )log 2(1 )2( )2 .log2l点技巧 对数运算法则的灵活运用利用对数运算法则计算时，通常要将底数、真数进行质因数分解，将不同底数化为同底数，在计算过程中常常会逆用运算法则8利用已知对数表示其他对数用对数 logax 和 logby 等表示其他对数时，首先仔细观察 a，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为 a，b.解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式对数的运算性质总结：如果 a0，且 a1，M0， N0，那么：loga
15、(MN)log aMlog aN；loga log aMlog aN；MNlogaMnnlog aM(nR)换底公式：log bN (a0，且 a1；b0，且 b1；N0)logaNlogab【例 81】已知 lg 2a，lg 3b，则 log36( )A B C Daa解析：由换底公式得 .3lg(2)lglo6=lb答案：B【例 82】已知 log189a,18 b5，求 log3645.(用 a，b 表示)解：18 b5，blog 185.1818181836 1818log4l()logl9l=22log22l9aba点技巧 巧用换底公式巧用换底公式是解决本题的关键，其中“log 18
16、2log 18 1log 1891a”是点睛之189笔9与对数有关的方程的求解问题关于对数的方程有三类：第一类是形如关于 x 的方程 logaf(x)b，通常将其化为指数式 f(x)a b，这样解关于 x的方程 f(x)a b即可，最后要注意验根例如：解方程 log64 ，将其化为指数式为 ，又(x 1516) 23 2315=64，则 x ，所以 x1，经检验 x1 是原方程的根23264=()1516 116第二类是形如关于 x 的方程 logf(x)nb，通常将其化为指数式 f(x)bn，这样解关于 x的方程 f(x)b n 即可，最后要注意验根例如，解方程 log(1x) 42，将其化
17、为指数式为(1x) 24，解得 x3 或 x1，经检验 x3 是增根，原方程的根是 x1.第三类是形如关于 x 的方程 f(logax)0，通常利用换元法，设 logaxt，转化为解方程f(t) 0 得 tp 的值，再解方程 logaxp，化为指数式则 xa p，最后要注意验根【例 91】解方程 lg 2xlg x 230.分析：利用换元法，转化为解一元二次方程解：原方程可化为 lg2x2lg x30.设 lg xt，则有 t22t30，解得 t1 或 t3，lg x 1 或 3，解得 或 x1 000，=经检验 ，x1 000 均符合题意，0所以原方程的根是 ，或 x1 000.辨误区 lg 2x 与 lg x2 的区别本题中，易混淆 lg2x 和 lg x2的区别，lg 2x 表示 lg x 的平方，即 lg2x(lg x)2，而 lg x22lg x.【例 92】设 logac，log bc 是方程 x23x10 的两根，求 的值logabc分析：方程的两根为对数式，所求式子涉及的字母也包含在两个式子中，因此可利用一元二次方程根与系数的关系列式，再用换底公式转化求解解：log ac，log bc 是方程 x23x10 的两根， 即logl=,.ab=3,loglccablogl=3,1.ccab .1llllogccbc2 5(logl)4logccccabab
