1、小题专项集训( 十三) 立体几何（二）(时间：40 分钟 满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 50 分)1已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O， x ，OM OA 12OB 13OC 则 x 的值为 ( )A. B. C. D016 13 12解析 由四点共面的充要条件，知 x 1，因此 x .12 13 16答案 A2. (2011辽宁 )如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )AACSBBAB平面 SCDCSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与
2、SA 所成的角解析 易证 AC平面 SBD，因而 ACSB，A 正确；ABDC，DC 平面SCD，故 AB平面 SCD，B 正确；由于 SA，SC 与平面 SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同答案 D3点 M 在 z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 s(1，1,1)的直线 l 的距离为 ，则点 M 的坐标是 ( 6)A(0,0 ，2) B(0,0，3)C(0,0， ) D(0,0，1)3解析 设 M 为(0,0 ，z )，直线 l 的一个单位方向向量为 s0 ，(33， 33，33)故点 M 到直线 l 的距离 d ，解得 z3.|OM |2 |OM s0|2 z2 13z2 6答案
3、B4在如图所示的正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E 是 C1D1的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( )A B1010 120C. D.120 1010解析 如图建立直角坐标系 Dxyz，设DA1 ，A (1,0,0)，C(0,1,0)，E .则(0，12，1)(1,1,0) ， ，若异面直线 DE 与AC DE (0，12，1)AC 所成的角为 ，cos |cos ， | .AC DE 1010答案 D5(2011全国 )已知二面角 l，点 A ，ACl ，C 为垂足，B ，BDl，D 为垂足若 AB2，ACBD1，则 D 到平面 ABC 的距离等于 ( ) A. B.
4、 C. D 123 33 63解析 ，| |2| |2| |2| |2，AB AC CD DB AB AC CD DB | |22.在 RtBDC 中，BC .CD 3面 ABC面 BCD，过 D 作 DHBC 于 H，则 DH面 ABC，DH 的长即为 D 到平面 ABC 的距离，DH .故选 C.DBDCBC 123 63答案 C6如图所示，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA1ABAC，AB AC ， M 是 CC1 的中点，Q是 BC 的中点，P 是 A1B1 的中点，则直线 PQ 与AM 所成的角为 ( )A. B.6 4C. D.3 2解析 以 A 为坐标原点，AB、AC、AA
5、 1所在直线为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA1AB AC 2，则 (0,2,1)，AM Q(1,1,0)，P(1,0,2) ， (0，1,2)，所QP 以 0，所以 QP 与 AM 所成角为 .QP AM 2答案 D7如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD底面ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足MPMC，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为( )解析 以 D 为原点，DA、DC 所在直线分别为 x、 y轴建系如图：设 M(x，y,0)，设正方形边长为 a，则P ，C(0，a,0)，(a2，0，
6、32a)则|MC| ，x2 y a2|MP| .(x a2)2 y2 ( 32a)2由|MP|MC|得 x2y，所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为直线 y x 的12一部分答案 A8如图所示，在四面体 PABC 中，PC面 ABC，ABBC CAPC，那么二面角 BAP C 的余弦值为 ( )A. B.22 33C D.77 57解析 如图所示，作 BDAP 于 D，作 CEAP 于 E.设 AB1，则易得CE ，EP ，PA PB ，可以求得 BD22 22 2，ED .因为 ，所以 2 2 2 22 144 24 BC BD DE EC BC BD DE EC BD 2 2 ，DE
7、 DE EC EC BD 所以 ，所以 cos ， .故选 C.EC BD 14 BD EC 77答案 C9(2013南通一模 )如图所示，在正方体ABCDA 1B1C1D1 中，E 、 F 分别在 A1D、AC 上，且A1E A1D，AF AC，则23 13( ) AEF 至多与 A1D、AC 之一垂直BEF 与 A1D、AC 都垂直CEF 与 BD1 相交DEF 与 BD1 异面解析 设 AB1，以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A (1,0,0)，C(0,1,0)，E
8、 ，F ，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， (1,0，1)，(13，0，13) (23，13，0) A1D (1,1,0) ， ， (1，1,1)， ， AC EF (13，13， 13) BD1 EF 13BD1 A1D 0，从而 EFBD1，EF A 1D，EFAC ，故选 B.EF AC EF 答案 B10P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在 ， 平面上引射线 PM，PN ，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角 AB 的大小为( )A60 B70 C80 D90解析 不妨设 PMa，PNb，如图所示，作 MEAB于 E，NFAB 于 F，因为 BPM BPN45，所以
9、PE a，PF b，所以 ( )( )22 22 EM FN PM PE PN PF abcos 60a bcos 45 abcos PM PN PM PF PE PN PE PF 22 2245 a b 0，所以 ，所以二面角22 22 ab2 ab2 ab2 ab2 EM FN AB 的大小为 90.答案 D二、填空题(每小题 5 分，共 25 分)11若向量 a(1,1，x )，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(c a)(2 b)2，则x_.解析 a(1,1，x)，b(1,2,1) ，c(1,1,1)，(ca)(2b) (0,0,1x)(2,4,2)2(1x)2，解得 x2.
10、答案 212(2013徐州模拟 )已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为_解析 如图建立直角坐标系 Dxyz，设 DA1，由已知条件 A(1,0,0)，E ，B(1,1,0)，C(0,1,0) ，(0，12，1) ， ( 1,0,0)设异面直线 AE 与 BC 所成角为 .AE ( 1，12，1) BC cos |cos ， | .AE BC |AE BC |AE |BC | 23答案 2313如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F 分别是棱AB，BC，CP 的中点，ABAC1，PA 2.
11、则直线PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为_解析 如图，以点 A 为原点，AB，AC，AP 所在的直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz.ABAC 1，PA2，得 A(0,0,0)，B (1，0,0) ，C(0,1，0) ，P(0,0,2) ，D ，E ，F(12，0，0) (12，12，0).(0，12，1) (0,0,2)， ， .AP DE (0，12，0) DF ( 12，12，1)设平面 DEF 的法向量为 n(x，y ，z)则Error!即Error!解得 Error!取 z1，则平面 DEF 的一个法向量为 n(2,0,1)设 PA 与平面 DEF 所成的角为
12、 ，则 sin |cos ，n |PA ，故直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 .|PA nPA |n| 55 55答案 5514已知：如图，ABC 是以B 为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M 、N 、D 分别是SC、AB 、BC 的中点，则 A 到平面 SND 的距离为_解析 建立如图的空间直角坐标系，则 N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4，0)， (0，2,2)，NS ( 1,4，2) 设平面 SND 的法向量为SD n(x， y,1)，n 0，n 0，NS SD Error!， Error!，n(2,1,1) (0,0,2) AS A 到平面
13、 SND 的距离为 .|nAS |n| 26 63答案 6315如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA1BCAB 2，ABBC，则二面角 B1A 1CC 1的大小是_解析 如图所示，以 B 为原点 O，OA，OC，OB 1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，设 AC 的中点为 M，M 的坐标为 (1,1,0)，连接 BM，由题意，知 BMAC ，BM CC 1，又 ACCC 1C，所以 BM平面 A1C1CA，即 (1,1,0) 是平面 A1C1CA 的一个法向量设平BM 面 A1B1C 的一个法向量为 n(x，y ，z )，由题意，得 (2,2，2)，A1C (2,0,0)，所以Error!令 z1，得 x0，y1，所以 n(0,1,1) 设A1B1 法向量 n 与 的夹角为 ，二面角 B1A 1CC 1的大小为 ，显然 为锐角，BM 所以 cos |cos | ，解得 .|nBM |n|BM | 12 3答案 3
