1、小题专项集训(十五) 圆锥曲线 (时间：40 分钟 满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 50 分)1设椭圆 1(m n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心率为 ，x2m2 y2n2 12则此椭圆的方程为 ( )A. 1 B. 1x212 y216 x216 y212C. 1 D. 1x248 y264 x264 y248解析 依题意知： ，得 m4.由 n2m 22 212，所以所求椭圆方程是2m 12 1.x216 y212答案 B2已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 1(ab0)的焦点x2a2 y2b2与顶点，若双曲线的离心率为 2，则椭圆离心率为 ( )
2、A. B. C. D.13 12 33 22解析 依题意知双曲线的顶点(c,0) ，(c,0)，焦点为(a,0)，(a,0)，则 2，ac故椭圆的离心率 e .ca 12答案 B3如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆解析 由条件知|PM|PF|.|PO| |PF|PO |PM| OM|R|OF|.P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆答案 A4P 为椭圆 1 上一点，F 1，F 2 为该椭圆的两个焦点，若F 1P
3、F260，x24 y23则 ( PF1 PF2 )A3 B. C2 D23 3解析 SPF 1F2b 2tan 3tan 30 | | |sin 60，602 3 12PF1 PF2 | | |4， 4 2.PF1 PF2 PF1 PF2 12答案 D5已知中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的62距离为 1，则此双曲线的方程为 ( )A. 1 B. 1x24 y22 x22 y23C. y 21 Dx 2y 21x22解析 根据题目条件中双曲线的离心率为 ，可以排除选项 B 和 D，选项 A62中，一个焦点为( ，0)，其渐近线方程为 x y 0，那么焦点到渐近线
4、的距6 2离为 d 1，也可以排除，故选择正确答案 C.| 6 20|12 22 2答案 C6已知抛物线 y22px (p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ( )Ax1 Bx1 Cx2 Dx2解析 令 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为抛物线的焦点 F ，所以过焦点且斜(p2，0)率为 1 的直线方程为 y x ，即 xy ，将其代入p2 p2y22px2p 2py p2，所以 y22pyp 20，所以 p2，所(y p2) y1 y22以抛物线的方程为 y24x，准线方程为 x1，故选 B.答案
5、 B7ABC 的顶点 A(5,0)、B(5,0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ( )A. 1 B. 1x29 y216 x216 y29C. 1( x3) D. 1(x 4)x29 y216 x216 y29解析 如图|AD|AE|8，|BF| BE|2，|CD | |CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 1(x3)x29 y216答案 C8在焦点分别为 F1，F 2 的双曲线上有一点 P，若F 1PF2 ，|PF 2|2|PF 1|，3则该双曲线的离心率等于 ( )A2 B.
6、C3 D.2 3解析 在F 1PF2中，由余弦定理可得cos ，3 |PF2|2 |PF1|2 |F1F2|22|PF2|PF1| 12解得|PF 1| c，则|PF 2| c，233 433由双曲线的定义可得|PF 2|PF 1| c c2a，433 233即 ，故选 D.ca 3答案 D9已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 y 21(m0)交于 A，B 两点，点 F 为x2m抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )A. B. C2 D221212 5解析 抛物线的准线方程为 x2，设准线与 x 轴的交点为 D(2,0)，由题意得AFB90，故|AB |2|DF|
7、8，故点 A 的坐标为 (2,4)由点 A 在双曲线 y 21 上可得 4 21，解得 m .故 c2m1 ，故双曲线x2m 22m 417 2117的离心率 e .ca 214 212答案 B10设 P 为圆 x2y 21 上的动点，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，若 PM (其中 为正常数 )，则点 M 的轨迹为 ( MQ )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析 设 M(x，y)，P(x 0， y0)，则 Q(x0,0)，由 ，得Error!(0)，PM MQ Error!由于 x y 1，x 2(1) 2y21，M 的轨迹为椭圆20 20答案 B二、填空题(每小题 5 分，共 25
8、 分)11若抛物线 y22px (p0)的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为x26 y22_解析 抛物线的焦点为 ，椭圆中，a ，b ，所以 c2，即右焦点(p2，0) 6 2为(2,0)所以 2，即 p4.p2答案 412在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y )满足 4，则OP OA 点 P 的轨迹方程是_ 解析 由 4，得(x，y)(1,2)4，即 x2y4.OP OA 答案 x2y4013已知双曲线 1(a0，b0) 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲x2a2 y2b2线的右支上，且|PF 1|4|PF 2|，则此双曲线的离心率 e
9、 的最大值为_解析 由定义，知|PF 1| |PF2|2a.又|PF 1|4|PF 2|， |PF1| a，| PF2| a.83 23在PF 1F2中，由余弦定理，得 cosF1PF2 e2.649a2 49a2 4c2283a23a 178 98要求 e 的最大值，即求 cosF1PF2的最小值，当 cosF1PF21 时，得 e ，即 e 的最大值为 .53 53答案 5314在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么22C 的方程为_解析 根据椭圆
10、 C 的焦点在 x 轴上，可设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2e ， .根据 ABF2的周长为 16，得 4a 16， a4，b2 ，椭22 ca 22 2圆 C 的方程为 1.x216 y28答案 1x216 y2815(2013枣庄一模 )已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_解析 法一 (直接法) 设 A(x，y)，y0，则 D ，(x2，y2)|CD| 3，(x2 5)2 y24化简得(x10) 2y 236，由于 A，B，C 三点构成三角形，所以 A 不能落在 x轴上，即 y 0.法二 (定义法) 如图所示，设 A(x，y)，D 为 AB的中点，过 A 作 AECD 交 x 轴于 E.|CD|3， |AE|6，则 E(10,0)A 的轨迹为以 E 为圆心，6 为半径的圆，即(x 10)2y 236，又 A，B，C 三点构成三角形， A 点纵坐标 y0，故 A 点轨迹方程为(x10) 2y 236(y0)答案 (x10) 2y 236(y0)
