1、2009 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文 科） 2009.3本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。注意事项： 1答卷前，考生务必用 2B 铅笔在 “考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
2、相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式 , 其中 是锥体的底面积, 是锥体的高.ShV31h如果事件 、 互斥，那么 .ABPABP一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1函数 的最小正周期为 xxfcosinA B. C. D. 2242已知全集 R，集合 ， ，则
3、U02xA1xBBAA B C D 01,3已知 i（1 i）（i为虚数单位） ，则复数 在复平面上所对应的点位于zzA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4某商场在国庆黄金周的促销活动中，对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图 1 所示已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元，则 11 时至 12 时的销售额为A. 万元 B. 万元 68C. 万元 D . 万元10125已知过 、 两点的直线与直线 平行，aA,18,B012yx则 的值为A. B. 0C. D. 176已知 R且 ，则下列不等式中成立的是ba,A B 12baC D.
4、0lgba17阅读图2的程序框图( 框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ”或“:=”)，若输出 的值等于 ,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是S16A ? B. ? 5i 6iC. ? D. ? 88如果命题“ 且 ”是假命题， “非 ”是真命题，那么pqpA命题 一定是真命题 B命题 一定是真命题 qC命题 一定是假命题 D命题 可以是真命题也可以是假命题 9.已知平面内不共线的四点 满足 ，CAO, OCA321则 ：ABA. B. C. D. 3:11:32:11:210在区间 上任意取两个实数 ba,，则函数 baxxf3在区间 上有且,0 ,仅有一个零点的概率为A B C D8
5、141874二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.（一）必做题（1113题）11. 椭圆 的离心率为 .1462yx12已知数列 的前 项和为 ，对任意 N 都有 ，nanS*12naS则 的值为 ，数列 的通项公式 . 1ana13. 一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图 3 所示，则该几何体的侧面积为 cm .2（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线 被圆 截得的弦24sin4长为_ .15.（几何证明选讲选做题）已知 是圆 （ 为圆心）的切线，切点为 ， 交圆 于PAOAP
6、O两点， ，则线段 的长为 .CB, 30,BAB三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)某校高三级要从3名男生 和2名女生 中任选3名代表参加学校的演讲比赛.cba、 ed、（1）求男生 被选中的概率；（2）求男生 和女生 至少有一人被选中的概率.d17. (本小题满分14分)已知 的内角 所对的边分别为 且 .ABC, ,cba53os,2B(1) 若 , 求 的值;4bsin(2) 若 的面积 求 的值.,4ABCS18. (本小题满分14分)如图 4， 是圆柱的母线， 是圆柱底面圆的直径，A1AB是底面圆周上异于 的任
7、意一点， C, 12AB（1）求证： 平面 ；BC1（2）求三棱锥 的体积的最大值1A19. (本小题满分 14 分)设点 、 是抛物线 上不同的两点，且该抛物线在点 、 处的两1,Axy2(,B24xyAB条切线相交于点 ，并且满足 .C0ABC(1) 求证： ；124x(2) 判断抛物线 的准线与经过 、 、 三点的圆的位置关系，并说明理由y20(本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个 型零件和1个 型零AB件配套组成.每个工人每小时能加工5个 型零件或者3个 型零件，现在把这些工人分成AB两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型
8、号的零件.设加工 型零件的工人人数为 名（ N ）.x*（1）设完成 型零件加工所需时间为 小时，写出 的解析式；Axfxf（2）为了在最短时间内完成全部生产任务， 应取何值？21. (本小题满分 14 分)已知数列 的相邻两项 是关于 的方程 N 的两根,且na1,nax02nbx()*1.(1) 求证: 数列 是等比数列;nna23(2) 设 是数列 的前 项和, 问是否存在常数 ,使得 对任意 N 都成nSn 0nSb*立,若存在, 求出 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.2009 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了
9、每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选 择 题 ： 本 大 题 主 要 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满
10、分 50 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案B A B C B D A D D C二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分，其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题第 12 题第一个空 2 分，第二个空 3 分11 12 ； 13 14 1512312n8034三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16 （本小题满分 12 分） （本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）解：从3名男生 和2名女生 中任选3名代表的可能选法是： ； ；cba、 ed、 cba,d,；
11、eba,； ； ； ； ； ； 共10种. dce,ec,b,ed,c,（1）男生 被选中的的情况共有6种，于是男生 被选中的概率为 . aa53106（2）男生 和女生 至少有一人被选中的情况共有9种，故男生 和女生 至少有一人被ad选中的概率为 . 1016 （本小题满分 14 分） （本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）解: (1) , 且 ,053cosBB . 54cos1sin2B由正弦定理得 ， bAaini . 524sin(2) ,in21BacSABC .5 . 由余弦定理得 ，Bacbos22 . 1753252 ca18
12、 （本小题满分 14 分） （本小题主要考查空间中线面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明： 是底面圆周上异于 、 的一点，且 为底面圆的直径，CABA 2 分B 平面 ， 平面 ，1AC . 4 分 平面 , 平面 ,11,AC1A1 平面 6 分B（2）解法 1:设 ,在 Rt 中， （0x2 ， xB24CB)故 （0x2 , 1 11332ABCAVSA3即 12 24(4)()xxx , 0,当 ，即 时，三棱锥 的体积的最大值为 2x21ABC32解法 2: 在 Rt 中， , ABC422BCAASVBCAB 21331112
13、31AB. 32当且仅当 时等号成立，此时 .BCA2BCA三棱锥 的体积的最大值为 . 119 （本小题满分 14 分）（本小题主要考查圆、抛物线、直线、导数等基础知识和数学探究，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：由 ，得 ，则 ， 24xy21x1yx抛物线 在点 ， 处的切线的斜率分别为 ， . 1(,)A2(,)B12x2 ，0ACB . 抛物线 在点 ， 处两切线相互垂直.24xy1(,)Axy2(,)B .12 . x（2）解法 1： ，0ACB . 经过 三点的圆的圆心为线段 的中点 ，圆心 . , ABD1212(,)xy抛物线 的
14、准线方程为 ，24xy1y点 到直线 的距离为 ， D112(,)d12y经过 三点的圆的半径 ，,ABC2211()()xyr由于 ， ，且 ，则 ，214xy21242121()6x .222 12()48)4xyyyyr即 ， 2 211211212()4()()y .rd抛物线 的准线与经过 三点的圆相切 2xy,ABC解法 2：由（1）知抛物线 在点 处的切线斜率为 ，241()xy12x又 ,41yx 切线 所在的直线方程为：AC1214xxy即 . 214xy同理可得, 切线 所在的直线方程为： . B224xy由,得点 的横坐标 ,纵坐标 ,即 . C21xCC11,21 ，0
15、AB . 经过 三点的圆的圆心为线段 的中点 ，圆心 .,CABD1212(,)xy抛物线 的准线方程为 ，24xy1y点 到直线 的距离为 ， D1d2经过 三点的圆的半径 ,ABC121yCDr .rd抛物线 的准线与经过 三点的圆相切 24xy,AB20 （本小题满分 12 分）（本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）解：（1）生产150件产品，需加工 A型零件450个，则完成 型零件加工所需时间 N*，且 . Axfx(9054)491x（2）生产150件产品，需加工 型零件150个，B则完成 型零件加工所需时
16、间 N*，且 .Bgx(031)设完成全部生产任务所需时间为 小时，则 为 与 的较大者.xhhfg令 ，即 ，xgf509解得 . 7132所以，当 时， ；当 时， .xxgf493xxgf故 . ,50219*xNxh当 时， ，故 在 上单调递减，321x092 hh3,1则 在 上的最小值为 （小时） ； h, 6453当 时， ，故 在 上单调递增，493x052 xhxh49,3则 在 上的最小值为 （小时） ； h, 17503，32在 上的最小值为 .x49,12h.答：为了在最短时间内完成生产任务， 应取 . x321 （本小题满分 14 分）（本小题主要考查数列的通项公式
17、、数列前 项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分n类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力）(1)证法 1: 是关于 的方程 N 的两根,1,nax02nbx()* .,21nnab由 ,得 , na1 nnna23131故数列 是首项为 ,公比为 的等比数列. nn231证法 2: 是关于 的方程 N 的两根,1,nax02nbx()* .21nnb ,nnnnaa231231 123nna故数列 是首项为 ,公比为 的等比数列. n11(2)解: 由(1)得 , 即 . 132nnna nna123 119nb. 2nn nnaaS321n1122. 1231nn要使 对任意 N 都成立,0nSb*即 (*)对任意 N 都成立.12912 02131nnn* 当 为正奇数时, 由(*)式得 ,n91n13n即 ,1291n03n ,012n 对任意正奇数 都成立.3n当且仅当 时, 有最小值 .n21 . 1 当 为正偶数时, 由(*)式得 ,291n0231n即 ,1291nn03n ,0 对任意正偶数 都成立.61nn当且仅当 时, 有最小值 .21n23 . 3综上所述, 存在常数 ,使得 对任意 N 都成立, 的取值范围是 .0nSb*1,
