1、拓展练习 1：如图，将一个长方形纸片沿着直线 EF 折叠，点 C 落在点 H 处；再将D 沿着 GE折叠，使 DE 落在直线 EH 上：问题 1：FEG 等于多少度？为什么？问题 2：FEH 与GEH 互余吗？为什么？问题 3：上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？哪些角互为补角？3如图，请利用三角板、直尺、铅笔、剪刀等工具将四边形纸板ABCD 剪成一个长方形纸板。4课外了解一下，建筑工人在砌墙时是怎样判断砌的墙是否为铅直？（2001嘉兴）如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M，N 分别是位于公路 AB 两侧的村庄（1）设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时，距离村庄
2、 M 最近；行驶到点 Q 位置时，距离村庄 N 最近请在图中的公路 AB 上分别画出点 P，Q 的位置（保留画图痕迹） （2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 M，N 两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远？（分别用文字表述你ABCDABG DEF CDH的结论，不必证明）（3）到在公路 AB 上是否存在这样一点 H，使汽车行驶到该点时，与村庄 M，N 的距离相等？如果存在，请在图中的 AB 上画出这一点（保留画图痕迹，不必证明） ；如果不存在，请简要说明理由（1）根据垂线段最短，分别作垂线即可；（2）由（1）图可得：在公
3、路 AB 的 AP 上距离 M，N 两村庄都越来越近，在 PQ 路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远；（3）作 MN 的中垂线，与公路的交点 H 即是与村庄 M，N 的距离相等的点解：（1） （3）如图（2）在公路 AB 的 AP 上距离 M，N 两村庄都越来越近，在 PQ 路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M ，N 分别是位于公路 AB 两侧的村庄（1）设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时，距离村庄 M 最近；行驶到点 Q 位置时，距离村庄 N 最近请在图中的公路 AB 上分别画出点 P，Q 的
4、位置（保留画图痕迹） （2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 M，N 两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）（3）到在公路 AB 上是否存在这样一点 H，使汽车行驶到该点时，与村庄 M，N 的距离相等？如 果存在，请在图中的 AB 上画出这一点（保留画图痕迹，不必证明） ；如果不存在，请简要说明理由非欧几里得几何百科名片非欧几里得几何Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一
5、切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。目录诞生 罗氏几何 黎曼几何 其他人的贡献 公设的不同 三种几何的关系 分析 编 辑 本 段 诞 生欧 几 里 得 的 几 何 原 本 提 出 了 五 条 公 设 ， 头 四 条 公 设 分 别 为 ： 1.由 任 意 一 点 到 任 意 一 点 可 作 直 线 。 2.一 条 有 限 直 线 可 以 继 续 延 长 。 3.以 任 意 点 为 心 及 任 意 的 距 离 可 以 画 圆 。 4.凡 直 角 都 相 等 。 第 五 条 公 设 说 ： 同 一 平 面 内
6、 一 条 直 线 和 另 外 两 条 直 线 相 交 ， 若 在 某 一 侧的 两 个 内 角 的 和 小 于 两 直 角 ， 则 这 两 直 线 经 无 限 延 长 后 在 这 一 侧 相 交 。 长 期 以 来 ， 数 学 家 们 发 现 第 五 公 设 和 前 四 个 公 设 比 较 起 来 ， 显 得 文 字 叙述 冗 长 ， 而 且 也 不 那 么 显 而 易 见 。 有 些 数 学 家 还 注 意 到 欧 几 里 得 在 几 何原 本 一 书 中 直 到 第 二 十 九 个 命 题 中 才 用 到 ， 而 且 以 后 再 也 没 有 使 用 。 也 就是 说 ， 在 几 何 原 本
7、 中 可 以 不 依 靠 第 五 公 设 而 推 出 前 二 十 八 个 命 题 。 因 此 ，一 些 数 学 家 提 出 ， 第 五 公 设 能 不 能 不 作 为 公 设 ， 而 作 为 定 理 ？ 能 不 能 依 靠 前四 个 公 设 来 证 明 第 五 公 设 ？ 这 就 是 几 何 发 展 史 上 最 著 名 的 ， 争 论 了 长 达 两 千多 年 的 关 于 “平 行 线 理 论 ”的 讨 论 。 由 于 证 明 第 五 公 设 的 问 题 始 终 得 不 到 解 决 ， 人 们 逐 渐 怀 疑 证 明 的 路 子 走的 对 不 对 ？ 第 五 公 设 到 底 能 不 能 证 明
8、 ？ 到 了 十 九 世 纪 二 十 年 代 ， 俄 国 喀 山 大 学 教 授 罗 巴 切 夫 斯 基 在 证 明 第 五公 设 的 过 程 中 ， 他 走 了 另 一 条 路 子 。 他 提 出 了 一 个 和 欧 式 平 行 公 理 相 矛 盾 的命 题 ,用 它 来 代 替 第 五 公 设 ， 然 罗 巴 切 夫 斯 基后 与 欧 式 几 何 的 前 四 个 公 设 结 合 成 一 个 公 理 系 统 ， 展 开 一 系 列 的 推 理 。 他 认为 如 果 这 个 系 统 为 基 础 的 推 理 中 出 现 矛 盾 ， 就 等 于 证 明 了 第 五 公 设 。 我 们 知道 ， 这
9、 其 实 就 是 数 学 中 的 反 证 法 。 但 是 ， 在 他 极 为 细 致 深 入 的 推 理 过 程 中 ， 得 出 了 一 个 又 一 个 在 直 觉 上 匪夷 所 思 ， 但 在 逻 辑 上 毫 无 矛 盾 的 命 题 。 最 后 ， 罗 巴 切 夫 斯 基 得 出 两 个 重 要 的结 论 ： 第 一 ， 第 五 公 设 不 能 被 证 明 。 第 二 ， 在 新 的 公 理 体 系 中 展 开 的 一 连 串 推 理 ， 得 到 了 一 系 列 在 逻 辑 上 无矛 盾 的 新 的 定 理 ， 并 形 成 了 新 的 理 论 。 这 个 理 论 像 欧 式 几 何 一 样
10、是 完 善 的 、严 密 的 几 何 学 。 这 种 几 何 学 被 称 为 罗 巴 切 夫 斯 基 几 何 ， 简 称 罗 氏 几 何 。 这 是 第 一 个 被提 出 的 非 欧 几 何 学 。 从 罗 巴 切 夫 斯 基 创 立 的 非 欧 几 何 学 中 ， 可 以 得 出 一 个 极 为 重 要 的 、 具 有普 遍 意 义 的 结 论 ： 逻 辑 上 互 不 矛 盾 的 一 组 假 设 都 有 可 能 提 供 一 种 几 何 学 。 编 辑 本 段 罗 氏 几 何罗 巴 切 夫 斯 基 几 何 的 公 理 系 统 和 欧 几 里 得 几 何 不 同 的 地 方 仅 仅 是 把 欧
11、式几 何 平 行 公 理 用 “在 平 面 内 ， 从 直 线 外 一 点 ， 至 少 可 以 做 两 条 直 线 和 这 条 直线 平 行 ”来 代 替 ， 其 他 公 理 基 本 相 同 。 由 于 平 行 公 理 不 同 ， 经 过 演 绎 推 理 却引 出 了 一 连 串 和 欧 式 几 何 内 容 不 同 的 新 的 几 何 命 题 。 我 们 知 道 ， 罗 氏 几 何 除 了 一 个 平 行 公 理 之 外 采 用 了 欧 式 几 何 的 一 切 公 理 。因 此 ， 凡 是 不 涉 及 到 平 行 公 理 的 几 何 命 题 ， 在 欧 式 几 何 中 如 果 是 正 确 的
12、， 在罗 氏 几 何 中 也 同 样 是 正 确 的 。 在 欧 式 几 何 中 ， 凡 涉 及 到 平 行 公 理 的 命 题 ， 在罗 氏 几 何 中 都 不 成 立 ， 他 们 都 相 应 地 含 有 新 的 意 义 。 下 面 举 几 个 例 子 加 以 说明 ： 欧 式 几 何 ： 同 一 直 线 的 垂 线 和 斜 线 相 交 。 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 。 存 在 相 似 的 多 边 形 。 过 不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 可 以 做 且 仅 能 做 一 个 圆 。 罗 氏 几 何 ： 同 一 直 线 的 垂 线 和 斜 线 不
13、 一 定 相 交 。 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 ， 当 两 端 延 长 的 时 候 ， 离 散 到 无 穷 。 不 存 在 相 似 的 多 边 形 。 过 不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 ， 不 一 定 能 做 一 个 圆 。 从 上 面 所 列 举 得 罗 氏 几 何 的 一 些 命 题 可 以 看 到 ， 这 些 命 题 和 我 们 所 习 惯的 直 观 形 象 有 矛 盾 。 所 以 罗 氏 几 何 中 的 一 些 几 何 事 实 没 有 像 欧 式 几 何 那 样 容易 被 接 受 。 但 是 ， 数 学 家 们 经 过 研 究 ， 提 出 可 以 用 我
14、 们 习 惯 的 欧 式 几 何 中 的事 实 作 一 个 直 观 “模 型 ”来 解 释 罗 氏 几 何 是 正 确 的 。 1868 年 ， 意 大 利 数 学 家 贝 特 拉 米 发 表 了 一 篇 著 名 论 文 非 欧 几 何 解 释的 尝 试 ， 证 明 非 欧 几 何 可 以 在 欧 几 里 得 空 间 的 曲 面 （ 例 如 拟 球 曲 面 ） 上 实现 。 这 就 是 说 ， 非 欧 几 何 命 题 可 以 “翻 译 ”成 相 应 的 欧 几 里 得 几 何 命 题 ，如 果 欧 几 里 得 几 何 没 有 矛 盾 ， 非 欧 几 何 也 就 自 然 没 有 矛 盾 。 直
15、到 这 时 ， 长 期 无 人 问 津 的 非 欧 几 何 才 开 始 获 得 学 术 界 的 普 遍 注 意 和 深入 研 究 ， 罗 巴 切 夫 斯 基 的 独 创 性 研 究 也 就 由 此 得 到 学 术 界 的 高 度 评 价 和 一 致赞 美 ， 他 本 人 则 被 人 们 赞 誉 为 “几 何 学 中 的 哥 白 尼 ”。 编 辑 本 段 黎 曼 几 何欧 氏 几 何 与 罗 氏 几 何 中 关 于 结 合 公 理 、 顺 序 公 理 、 连 续 公 理 及 合 同 公 理都 是 相 同 的 ， 只 是 平 行 公 理 不 一 样 。 欧 式 几 何 讲 “过 直 线 外 一 点
16、 有 且 只 有一 条 直 线 与 已 知 直 线 平 行 ”。 罗 氏 几 何 黎 曼讲 “ 过 直 线 外 一 点 至 少 存 在 两 条 直 线 和 已 知 直 线 平 行 ”。 那 么 是 否 存 在 这样 的 几 何 “过 直 线 外 一 点 ， 不 能 做 直 线 和 已 知 直 线 平 行 ”？ 黎 曼 几 何 就 回答 了 这 个 问 题 。 黎 曼 几 何 是 德 国 数 学 家 黎 曼 创 立 的 。 他 在 1851 年 所 作 的 一 篇 论 文 论几 何 学 作 为 基 础 的 假 设 中 明 确 的 提 出 另 一 种 几 何 学 的 存 在 ， 开 创 了 几 何
17、 学的 一 片 新 的 广 阔 领 域 。 黎 曼 几 何 中 的 一 条 基 本 规 定 是 ： 在 同 一 平 面 内 任 何 两 条 直 线 都 有 公 共 点(交 点 )。 在 黎 曼 几 何 学 中 不 承 认 平 行 线 的 存 在 ， 它 的 另 一 条 公 设 讲 ： 直 线 可以 无 限 延 长 ， 但 总 的 长 度 是 有 限 的 。 黎 曼 几 何 的 模 型 是 一 个 经 过 适 当 “改进 ”的 球 面 。 近 代 黎 曼 几 何 在 广 义 相 对 论 里 得 到 了 重 要 的 应 用 。 在 物 理 学 家 爱 因 斯 坦的 广 义 相 对 论 中 的 空
18、间 几 何 就 是 黎 曼 几 何 。 在 广 义 相 对 论 里 ， 爱 因 斯 坦 放 弃了 关 于 时 空 均 匀 性 的 观 念 ， 他 认 为 时 空 只 是 在 充 分 小 的 空 间 里 以 一 种 近 似 性而 均 匀 的 ， 但 是 整 个 时 空 却 是 不 均 匀 的 。 在 物 理 学 中 的 这 种 解 释 ， 恰 恰 与 黎曼 几 何 的 观 念 是 相 似 的 。 此 外 ， 黎 曼 几 何 在 数 学 中 也 是 一 个 重 要 的 工 具 。 它 不 仅 是 微 分 几 何 的基 础 ， 也 应 用 在 微 分 方 程 、 变 分 法 和 复 变 函 数 论
19、等 方 面 。 编 辑 本 段 其 他 人 的 贡 献几 乎 在 罗 巴 切 夫 斯 基 创 立 非 欧 几 何 学 的 同 时 ， 匈 牙 利 数 学 家 鲍 耶 雅诺 什 也 发 现 了 第 五 公 设 不 可 证 明 和 非 欧 几 何 学 的 存 在 。 鲍 耶 在 研 究 非 欧 几 何学 的 过 程 中 也 遭 到 了 家 庭 、 社 会 的 冷 漠 对 待 。 他 的 父 亲 数 学 家 鲍耶 法 尔 卡 什 认 为 研 究 第 五 公 设 是 耗 费 精 力 劳 而 无 功 的 蠢 事 ， 劝 他 放 弃 这 种研 究 。 但 鲍 耶 雅 诺 什 坚 持 为 发 展 新 的 几
20、 何 学 而 辛 勤 工 作 。 终 于 在 1832 年 ，在 他 的 父 亲 的 一 本 著 作 里 ， 以 附 录 的 形 式 发 表 了 研 究 结 果 。 高 斯 也 发 现 第五 公 设 不 能 证 明 ， 并 且 研 究 了 非 欧 几 何 。 但 是 高 斯 害 怕 这 种 理 论 会 遭 到 当 时教 会 力 量 的 打 击 和 迫 害 ， 不 敢 公 开 发 表 自 己 的 研 究 成 果 ， 只 是 在 书 信 中 向 自己 的 朋 友 表 示 了 自 己 的 看 法 ， 也 不 敢 站 出 来 公 开 支 持 罗 巴 切 夫 斯 基 、 鲍 耶 他们 的 新 理 论 。
21、 编 辑 本 段 公 设 的 不 同同 一 直 线 的 垂 线 和 斜 线 相 交 。 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 。 存 在 相 似 的 多 边 形 。 过 不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 可 以 做 且 仅 能 做 一 个 圆 。 罗 氏 几 何 同 一 直 线 的 垂 线 和 斜 线 不 一 定 相 交 。 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直线 ， 当 两 端 延 长 的 时 候 ， 离 散 到 无 穷 。 不 存 在 相 似 的 多 边 形 。 过 不 在 同一 直 线 上 的 三 点 ， 不 一 定 能 做 一 个 圆 。 从 上
22、面 所 列 举 得 罗 氏 几 何 的 一 些 命题 可 以 看 到 ， 这 些 命 题 和 我 们 所 习 惯 的 直 观 形 象 有 矛 盾 。 所 以 罗 氏 几 何 中 的一 些 几 何 事 实 没 有 象 欧 式 几 何 那 样 容 易 被 接 受 。 1868 年 ， 意 大 利 数 学 家贝 特 拉 米 发 表 了 一 篇 著 名 论 文 非 欧 几 何 解 释 的 尝 试 ， 证 明 非 欧 几 何 可以 在 欧 几 里 得 空 间 的 曲 面 （ 例 如 拟 球 曲 面 ） 上 实 现 。 编 辑 本 段 三 种 几 何 的 关 系欧 氏 几 何 、 罗 氏 几 何 、 黎
23、曼 几 何 是 三 种 各 有 区 别 的 几 何 。 这 三 种 几 何 各自 所 有 的 命 题 都 构 成 了 一 个 严 密 的 公 理 体 系 ， 各 公 理 之 间 满 足 和 谐 性 、 完 备性 和 独 立 性 。 因 此 这 三 种 几 何 都 是 正 确 的 。 在 我 们 这 个 不 大 不 小 、 不 远 不 近 的 空 间 里 ， 也 就 是 在 我 们 的 日 常 生 活 中 ，欧 式 几 何 是 适 用 的 ； 在 宇 宙 空 间 中 或 原 子 核 世 界 ， 罗 氏 几 何 更 符 合 客 观 实 际 ；在 地 球 表 面 研 究 航 海 、 航 空 等 实
24、际 问 题 中 ， 黎 曼 几 何 更 准 确 一 些 。 编 辑 本 段 分 析根 据 欧 氏 几 何 的 5 条 公 理 ， 可 以 看 出 ， 这 里 所 说 的 “欧 氏 几 何 ”实 际上 是 平 面 几 何 。 除 平 面 几 何 外 ， 还 有 立 体 几 何 。 我 们 通 常 所 学 的 立 体 几 何 ，基 本 也 就 是 空 间 中 点 、 线 、 平 面 的 关 系 ， 没 有 涉 及 到 曲 面 。 罗 氏 几 何 ： 根 据 罗 氏 几 何 的 定 义 ： 从 直 线 外 一 点 ， 至 少 可 以 做 两 条 直 线 和 这 条 直 线平 行 。 我 们 仅 需
25、将 空 间 中 的 平 行 线 ， 定 义 为 ： 不 相 交 的 两 条 直 线 叫 罗 氏 平 行线 。 就 可 以 得 到 ， 过 直 线 外 一 点 ， 可 以 做 任 意 多 条 直 线 和 这 条 直 线 罗 氏 平 行 。同 一 直 线 的 垂 线 和 斜 线 不 一 定 相 交 (可 能 是 罗 氏 平 行 线 )。 垂 直 于 同 一 直 线的 两 条 直 线 ， 当 两 端 延 长 的 时 候 ， 可 能 离 散 到 无 穷 (不 在 同 一 平 面 的 两 条 垂线 ， 线 距 趋 于 无 限 远 )。 过 不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 ， 不 一 定 能 做
26、一 个 圆 。 这个 命 题 在 一 个 特 殊 模 型 下 成 立 ： “过 一 个 曲 面 上 的 不 在 同 一 条 直 线 上 的 三 个点 ， 不 一 定 能 在 曲 面 上 做 一 个 “公 认 ”的 圆 ”。 但 可 以 在 这 个 曲 面 上 做 过这 三 点 的 一 个 平 面 的 投 影 圆 。 黎 曼 几 何 ： 黎 曼 几 何 的 这 个 假 设 我 们 没 有 模 型 ： 在 同 一 平 面 内 任 何 两 条 直 线 都 有 公共 点 (交 点 )。 直 线 可 以 无 限 延 长 ， 但 总 的 长 度 是 有 限 的 。 这 个 在 球 面 上 是 可以 应 用
27、 的 。 此 外 ： 曲 面 上 ， 两 点 间 最 短 的 线 称 为 这 两 点 在 该 曲 面 上 的 直 线 ， 则 曲 面 上 两 点间 的 直 线 ， 可 以 有 多 条 。 如 果 一 个 曲 面 上 的 线 ， 在 一 个 平 面 上 的 投 影 为 一 条直 线 ， 则 称 此 直 线 为 此 曲 面 关 于 这 个 平 面 的 直 线 ， 则 过 曲 面 上 任 意 两 点 ， 能且 仅 能 做 关 于 此 平 面 的 一 条 直 线 。 曲 面 上 三 点 ， 不 在 关 于 某 平 面 的 直 线 上 ，则 能 且 仅 能 做 一 个 关 于 此 平 面 的 圆拓扑学求
28、助编辑百科名片拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语? 的音译。Topology 原意为地貌，于 19 世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。目录拓扑定义 学科方向 拓扑学的由来 拓扑性质 拓扑发展 发展简史 形势分析学 一般拓扑学 代数拓扑学 同伦论研究 从微分到几何拓扑学 学科关系 学科作用 初等实例 柯尼斯堡的七桥问题 公式与分类 四色问题 纽结问题 维数问题 向量场问题 不动点问题 简易的四色定理证明 一维研究 二维组合 三维扩展 展开 拓扑定义 学
29、科方向 拓扑学的由来 拓扑性质 拓扑发展 发展简史 形势分析学 一般拓扑学 代数拓扑学 同伦论研究 从微分到几何拓扑学 学科关系 学科作用 初等实例 柯尼斯堡的七桥问题 公式与分类 四色问题 纽结问题 维数问题 向量场问题 不动点问题 简易的四色定理证明 一维研究 二维组合 三维扩展 展开 编辑本段拓扑定义拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语 的音译。Topology 原意为地貌，于 19 世纪中期由 科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。 拓扑学是数学中一
30、个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。 编辑本段学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。19 世纪末，在拓扑学的孕育阶段，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。 拓扑学也是数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小
31、。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决 哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 编辑本段拓扑学的由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问
32、题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736 年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了
33、解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是 v、棱数是 e、面数是 f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十
34、二面体、正二十面体。 著名的“四色问题” 也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。中国曾邦哲于 20 世纪 80-90 年代（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体” 的问题。 拓扑学四色猜想的提出来自于英国。1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。 ” 1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都
35、纷纷参加了四色猜想的大会战。18781880 年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入 20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿判断
36、，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。 上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。 拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨 1679 年提出的名词。十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。 连续性和离散性是自然界与社会现象中
37、普遍存在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用。 拓扑学是几何学的一个分支，它是从图论演变过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路之间的几何关系来表示网络结构，反映出网络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是建设计算机网络的第一步，也是实现各种网络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信子网的拓扑构型。 编辑本段拓扑性质拓扑性质
38、有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。 应该指出，环面不具有这个性质。把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我
39、们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(17901868)在 1858 年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满，因为只有一个面。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。 编辑本段拓扑发展拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 二十世纪
40、以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。上世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945 年，美籍中国数
41、学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑学。现在，这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用。 编辑本段发展简史形势分析学拓扑学起初叫形势分析学，这是 G.W.莱布尼茨 1679 年提出的名词( 中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过 20 世纪 30 年代中期起布尔巴基学派的补充（一
42、致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。L.欧拉 1736 年解决了七桥问题，1750 年发表了多面体公式；C.F.高斯 1833 年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个词（中文是音译）是J.B.利斯廷提出的(1847) ，源自 希腊文( 位置、形势)与( 学问)。这是萌芽阶段。 1851 年起，B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定
43、向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极限点） 、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何学的研究中黎曼明确提出 n 维流形的概念(1854)。得出许多拓扑概念， 组合拓扑学的奠基人是 H.庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在 n 维流形。在 18951904 年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思
44、想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中， 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动 G.康托尔从 1873 年起系统地展开了 欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点） 、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。这样，B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到19、20 世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽
45、阶段。 一般拓扑学最早研究抽象空间的是 M.-R.弗雷歇，在 19 拓扑学06 年引进了度量空间的概念。F.豪斯多夫在集论大纲 （1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。L.欧拉 1736 年解决了七桥问题，随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过 20 世纪 30 年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研
46、究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。 欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。50 年代以来，即问两个映射，以R.H.宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。 代数拓扑学L.E.J.布劳威尔在 19101912 年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并
47、开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准，而欧拉数 -e+?则是） 。成为引人瞩目的学科。紧接着，J.W. 亚历山大 1915 年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧性） ， 随着抽象代数学的兴起，1925 年左右 A.E.诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下 H.霍普夫 1928 年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，S.艾伦伯格与 N.E.斯廷罗德 1945 年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成代数拓扑学基础(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨
48、大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。同调群，以及在 30 年代引进的上同调环，都是从拓扑到代数的过渡（见同调论） 。直到今天，三角形与圆形同胚；而直线与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因而也最常用的。不必加以区别。 同伦论研究同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W.赫维茨 19351936 年间引进了拓扑空间的 n 维同伦群，其元素是从 n 维球面到该空间的映射的同伦类，而且?同它的逆映射?-1:BA 都是连续的，一维同伦群恰是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，确切的含义是同胚。其几何意义
49、比同调群更明显， 前面所说的几何图形的连续变形，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950 年 J.P.塞尔利用 J.勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。 从 50 年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了 K 理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，就是一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相同，如物理学中一个系统的所有可能的状态组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一部分。 从微分到几何拓扑学微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的拓扑学。这些性质与长度、角度无关，J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.庞加莱早就做过微分流形的研究；随着代数拓扑学和微分几何学的进步， 以上这些例子启示了：几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。在30 年代重新兴起。H.惠特尼 1935 年给出了微分流形的一般定义，并证明它总
