1、15.2 二项式系数的性质1了解杨辉三角2掌握二项式系数的性质(重点)3会用赋值法求系数和(难点)基础初探教材整理 二项式系数的性质阅读教材 P26P 27“练习”以上部分，完成下列问题1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数_(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的_，即C _.rn 1【答案】 (1)相等 (2)和 C Cr 1n rn2二项式系数的性质对称性 在( a b)n展开式中，与首末两端“_”的两个二项式系数相等，即 C _mn增减性与最大值增减性：当 kn 12时，二项式系数是逐渐减小的n 12最大值：当 n
2、 为偶数时，中间一项的二项式系数 最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C C C C _.0n 1n 2n n(2)C C C C C C _0n 2n 4n 1n 3n 5n【答案】 等距离 C (1)2 n (2)2 n1n mn21已知( a b)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )A11 B10 C9 D8【解析】 只有第 5 项的二项式系数最大， 15， n8.n2【答案】 D2如图 151，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第 14个与第 15 个数的比为 23.图 151【解析】 由已
3、知 ，C13nC14n 23即 ，n！ n 13 ！ 13！ n 14 ！ 14！n！ 23化简得 ，解得 n34.14n 13 23【答案】 34质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型与“杨辉三角”有关的问题如图 152，在“杨辉三角”中斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前 n 项和为 Sn，求 S19的值3图 152【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是 C ，第 2 项是 C ，第 3 项是 C ，第 4 项是 C2 12 2
4、3，第 17 项是 C ，第 18 项是 C ，第 19 项是 C .13 210 10 211【自主解答】 S19(C C )(C C )(C C )(C C )2 12 23 13 24 14 210 10C (C C C C )(C C C C )(23410)C 211 12 13 14 10 2 23 210 211 312220274. 2 10 92“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：再练一题1(2016南充高二检测)如图 153 所示
5、，满足如下条件：第 n 行首尾两数均为 n；表中的递推关系类似“杨辉三角” 则第 10 行的第 2 个数是_，第 n 行的第 2 个数是_4图 153【解析】 由图表可知第 10 行的第 2 个数为：(1239)146，第 n 行的第 2 个数为：123( n1)1 1 .n n 12 n2 n 22【答案】 46 n2 n 22求展开式的系数和设(12 x)2 017 a0 a1x a2x2 a2 017x2 017(xR)(1)求 a0 a1 a2 a2 017的值；(2)求 a1 a3 a5 a2 017的值；(3)求| a0| a1| a2| a2 017|的值【精彩点拨】 先观察所求
6、式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解【自主解答】 (1)令 x1，得a0 a1 a2 a2 017(1) 2 0171.(2)令 x1，得 a0 a1 a2 a2 0173 2 017.得2(a1 a3 a2 017)13 2 017， a1 a3 a5 a2 017 . 1 32 0172(3) Tr1 C (2 x)r(1) rC (2x)r，r2 017 r2 017 a2k1 0( kN )， a2k0( kN )| a0| a1| a2| a3| a2 017| a0 a1 a2 a3 a2 0173 2 017.1解决二项式系数和问题思维流程52 “赋值法”是解决二项展开式中项的
7、系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x0 可得常数项，令x1 可得所有项系数之和，令 x1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差再练一题2已知(2 x1) 10 a0 a1x a2x2 a9x9 a10x10，则 a2 a3 a9 a10的值为( )A20 B0C1 D20【解析】 令 x1，得 a0 a1 a2 a9 a101，再令 x0，得 a01，所以a1 a2 a9 a100，又易知 a1C 21(1) 920，所以910a2 a3 a9 a1020.【答案】 D探究共研型二项式系数性质的应用探究 1 根据杨辉三角的特点，在
8、杨辉三角同一行中与两个 1 等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】 对称性，因为 C C ，也可以从 f(r)C 的图象中得到mn n mn rn探究 2 计算 ，并说明你得到的结论CknCk 1n【提示】 .CknCk 1n n k 1k当 k1，说明二项式系数逐渐增大；n 12 CknCk 1n同理，当 k 时，二项式系数逐渐减小n 12探究 3 二项式系数何时取得最大值？【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值已知 f(x)( 3 x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.3x2(1)求
9、展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项6【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x， y 的系数均考虑进去，包括“” “”号【自主解答】 令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13) n4 n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4 n2 n992.(2 n)22 n9920，(2 n31)(2 n32)0，2 n31(舍去)或 2n32， n5.(1)由于 n5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C ( )3(3x2)290 x6，25T
10、4C ( )2(3x2)3270 .35(2)展开式的通项公式为 Tr1 C 3r r5假设 Tr1 项系数最大，则有Error!Error!Error! r ， rN ， r4.72 92展开式中系数最大的项为 T5C (3x2)4405 .451求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得再练一题3已知( a21) n展开式中的各项系数之和等于 5的展开式的常数项，而(165x2 1x
11、)(a21) n的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值【解】 由 5，得(165x2 1x)7Tr1 C 5 r r 5 rC ，r5(165x2) (1x) (165) r5令 Tr1 为常数项，则 205 r0，所以 r4，常数项 T5C 16.45165又( a21) n展开式中的各项系数之和等于 2n，由此得到 2n16， n4.所以( a21) 4展开式中系数最大项是中间项 T3C a454，所以 a .24 3构建体系1(1 x)2n1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A n， n1 B n1， nC n1， n2 D n2， n3【解析】 该展开式共 2n2
12、 项，中间两项为第 n1 项与第 n2 项，所以第 n1 项与第 n2 项为二项式系数最大的项【答案】 C2已知 C 2C 2 2C 2 nC 729，则 C C C 的值等于( )0n 1n 2n n 1n 3n 5nA64 B32C63 D31【解析】 C 2C 2 nC (12) n3 n729，0n 1n n n6，C C C 32.16 36 56【答案】 B3若( x3 y)n的展开式中各项系数的和等于(7 a b)10的展开式中二项式系数的和，则 n 的值为_【解析】 (7 a b)10的展开式中二项式系数的和为 C C C 2 10，令01 10 108(x3 y)n中 x y
13、1，则由题设知，4 n2 10，即 22n2 10，解得 n5.【答案】 54已知( a x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，若 a280，则a0 a1 a2 a5_. 【导学号：62690023】【解析】 ( a x)5展开式的通项为 Tk1 (1) kC a5 kxk，令 k2，得 a2(1)k52C a380，解得 a2，即(2 x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，令 x1，得25a0 a1 a2 a51.【答案】 15在 8的展开式中，(x2x2)(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项【解】 Tr1 C ( )8
14、 r r(1) rC 2r .r8 x (2x2) r8(1)设第 r1 项系数的绝对值最大则Error! Error!解得 5 r6.故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项所以 T5C 24 1 120x6 .48(3)由(1)知，展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，第 7 项的系数为正则系数最大的项为 T7C 26x11 1 792 x11 .68(4)系数最小的项为T6(1) 5C 25 1 792 .589我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：
15、45 分钟)学业达标一、选择题1在( a b)20的二项展开式中，二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的项是( )A第 15 项 B第 16 项C第 17 项 D第 18 项【解析】 第 6 项的二项式系数为 C ，又 C C ，所以第 16 项符合条件520 1520 520【答案】 B2(2016吉林一中期末)已知 n的展开式的二项式系数之和为 32，则展开式(x21x)中含 x 项的系数是( )A5 B20C10 D40【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为 32，则有 2n32，可得 n5，Tr1 C x2(5 r)x rC x103 r，r5 r5令 103 r1，
16、解得 r3，所以展开式中含 x 项的系数是 C 10，故选 C.35【答案】 C3设(1 x x2)n a0 a1x a2x2 a2nx2n，则 a0 a2 a4 a2n等于( )A2 n B.3n 12C2 n1 D.3n 12【解析】 令 x1，得 3n a0 a1 a2 a2n1 a2n，令 x1，得 1 a0 a1 a2 a2n1 a2n，10得 3n12( a0 a2 a2n)， a0 a2 a2n .故选 D.3n 12【答案】 D4(2016信阳高二检测)已知(12 x)8展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 的值为( ) 【导学号：62690024】baA.
17、 B.1285 2567C. D.5125 1287【解析】 aC 70，设 bC 2r，则Error!48 r8得 5 r6，所以 bC 26C 2672 8，所以 .故选 A.68 28ba 1285【答案】 A5在( x )2 010的二项展开式中，含 x 的奇次幂的项之和为 S，当 x 时， S 等于2 2( )A2 3 015 B2 3 014C2 3 014 D2 3 008【解析】 因为 S ，当 x 时， x 2 2 010 x 2 2 0102 2S 2 3 014.23 0152【答案】 B二、填空题6若(12 x)2 016 a0 a1x a2 016x2 016(xR)，则 的值为a12 a222 a2 01622 016_【解析】 令 x0，得 a01.令 x ，得 a0 0，所以12 a12 a222 a2 01622 016 1.a12 a222 a2 01622 016【答案】 17若 n 是正整数，则 7n7 n1 C 7 n2 C 7C 除以 9 的余数是_1n 2n n 1n【解析】 7 n7 n1 C 7 n2 C 7C (71) nC 8 n1(91)1n 2n n 1n nn1C 9n(1) 0C 9n1 (1) 1C 90(1) n1， n 为偶数时，余数为 0；当 n 为0n 1n n奇数时，余数为 7.
