1、1高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题定点、定值、探索性问题1(2017汕头期末联考)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F(1,0)， O为坐标原点， A， B是抛物线 C上异于 O的两点(1)求抛物线 C的方程；(2)若直线 OA， OB的斜率之积为 ，求证：直线 AB过 x轴上一定点12解：(1)因为抛物线 y22 px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以 1，所以 p2.p2所以抛物线 C的方程为 y24 x.(2)证明：当直线 AB的斜率不存在时，设 A ， B .(t24， t) (t24， t)因为直线 OA， OB的斜率之积为 ，12所以 ，化简得 t232.tt
2、24 tt24 12所以 A(8， t)， B(8， t)，此时直线 AB的方程为 x8.当直线 AB的斜率存在时，设其方程为 y kx b， A(xA， yA)， B(xB， yB)，联立方程组Error!消去 x，得 ky24 y4 b0.根据根与系数的关系得 yAyB ，4bk因为直线 OA， OB的斜率之积为 ，12所以 ，yAxA yBxB 12即 xAxB2 yAyB0.即 2 yAyB0，y2A4 y2B4解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32.所以 yAyB 32，即 b8 k，4bk所以 y kx8 k，即 y k(x8)2综上所述，直线 AB过定点(8,0)2(2017甘
3、肃张掖一诊)已知椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，| F1F2|2 ，点 P为椭圆短轴的端点，且 PF1F2的面积为 2 .5 5(1)求椭圆的方程；(2)点 Q是椭圆上任意一点， A(4 ，6)，求| QA| QF1|的最小值；5(3)点 B 是椭圆上的一定点， B1， B2是椭圆上的两动点，且直线 BB1， BB2关于(1，423)直线 x1 对称，试证明直线 B1B2的斜率为定值解：(1)由题意可知 c ， S PF1F2 |F1F2|b2 ，512 5所以 b2，求得 a3，故椭圆的方程为 1.x29 y24(2)由(1)得| QF1| QF2|6
4、， F1( ，0)， F2( ，0)5 5那么| QA| QF1| QA|(6| QF2|)| QA| QF2|6，而| QA| QF2| AF2| 9， 45 5 2 6 0 2所以| QA| QF1|的最小值为 3.(3)设直线 BB1的斜率为 k，因为直线 BB1与直线 BB2关于直线 x1 对称，所以直线 BB2的斜率为 k，所以直线 BB1的方程为 y k(x1)，423设 B1(x1， y1)， B2(x2， y2)，由Error!可得(49 k2)x26 k(4 3 k)x9 k224 k40，2 2因为该方程有一个根为 x1，所以 x1 ，9k2 242k 44 9k2同理得
5、x2 ，9k2 242k 44 9k2所以 kB1B2y1 y2x1 x2k x1 1 423 k x2 1 423x1 x2k x1 x2 2kx1 x23 ，k(9k2 242k 44 9k2 9k2 242k 44 9k2 ) 2k9k2 242k 44 9k2 9k2 242k 44 9k2 26故直线 B1B2的斜率为定值 .263(2016合肥质检)设 A， B为抛物线 y2 x上相异两点，其纵坐标分别为 1，2， 分别以 A， B为切点作抛物线的切线 l1， l2，设 l1， l2相交于点 P.(1)求点 P的坐标；(2)M为 A， B间抛物线段上任意一点，设 ，试判断 是PM
6、PA PB 否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由解：(1)由题知 A(1,1)， B(4，2)，设点 P的坐标为( xp， yp)，切线 l1： y1 k(x1)，联立Error!由抛物线与直线 l1相切，解得 k ，12即 l1： y x ，同理， l2： y x1.12 12 14联立 l1， l2的方程，可解得Error!即点 P的坐标为 .( 2， 12)(2)设 M(y ， y0)，且2 y01.20由 PM PA PB 得 ，(y20 2， y012) (3， 32) (6， 32)即Error! 解得Error!则 1，即 为定值 1. y0 23 1 y0
7、3 4(2017河北质量检测)已知椭圆 E： 1 的右焦点为 F(c,0)，且x2a2 y2b2a b c0，设短轴的一个端点为 D，原点 O到直线 DF的距离为 ，过原点和 x轴不重合32的直线与椭圆 E相交于 C， G两点，且| | |4.GF CF (1)求椭圆 E的方程；(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l与椭圆 E相交于不同的两点 A， B且使得 24OP 4 成立？若存在，试求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由PA PB 解：(1)由椭圆的对称性知| | |2 a4，GF CF a2.又原点 O到直线 DF的距离为 ，32 ， bc ，bca 32 3又 a2 b2 c2
8、4， a b c0， b ， c1.3故椭圆 E的方程为 1.x24 y23(2)当直线 l与 x轴垂直时不满足条件故可设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l的方程为 y k(x2)1，代入椭圆方程得(34 k2)x28 k(2k1) x16 k216 k80， 32(6 k3)0， k .12x1 x2 ， x1x2 ，8k 2k 13 4k2 16k2 16k 83 4k2 24 ，OP PA PB 即 4(x12)( x22)( y11)( y21)5，4( x12)( x22)(1 k2)5，即 4x1x22( x1 x2)4(1 k2)5，4 (1 k2)16k2 16k 83 4k2 28k 2k 13 4k2 44 5，4 4k23 4k2解得 k ， k 不符合题意，舍去12 12存在满足条件的直线 l，其方程为 y x.12
