1、1高考达标检测（五十八） 参数方程1(2017吉林实验中学)已知椭圆 C： 1，直线 l：Error!( t 为参数)x24 y23(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程；(2)设 A(1,0)，若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其直线 l 的距离相等，求点 P的坐标解：(1)椭圆 C 的参数方程为：Error!( 为参数)，直线 l 的普通方程为 x y90.3(2)设 P(2cos ， sin )，3则| AP| 2cos ， 2cos 1 2 3sin 2P 到直线 l 的距离d .|2cos 3sin 9|2 2cos 3sin 92由| AP| d，得 3s
2、in 4cos 5，又 sin2 cos 2 1，得 sin ，cos .35 45故 P .(85， 335)2已知曲线 C1：Error!( t 为参数)，曲线 C2：Error!( 为参数)(1)化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t ， Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 2C3：Error! (t 为参数)的距离的最小值解：(1)曲线 C1：( x4) 2( y3) 21，曲线 C2： 1，x264 y29曲线 C1是以(4,3)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，长半
3、轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆(2)当 t 时， P(4,4)， Q(8cos ，3sin )， 2故 M24cos ，2 sin .32曲线 C3为直线 x2 y70，M 到 C3的距离 d |4cos 3sin 13|，55从而当 cos ，sin 时， d 取最小值 .45 35 8553(2017辽宁五校联考)倾斜角为 的直线 l 过点 P(8,2)，直线 l 和曲线2C：Error! ( 为参数)交于不同的两点 M1， M2.(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并写出直线 l 的参数方程；(2)求| PM1|PM2|的取值范围解：(1)曲线 C 的普通方程为 1，x232
4、y24直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)(2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的方程得：(8 tcos )28(2 tsin )232，整理得(8sin 2 cos 2 )t2(16cos 32sin )t640，由 (16cos 32sin )2464(8sin 2 cos 2 )0，得 cos sin ，故 ，0， 4)| PM1|PM2| t1t2| .641 7sin2 (1289， 644(2017山西模拟)在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 4 sin .现2 ( 4)以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为Erro
5、r!(t 为参数 )(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线 l 和曲线 C 交于 A， B 两点，定点 P(2，3)，求| PA|PB|的值解：(1) 4 sin 4sin 4cos ，2 ( 4)所以 24 sin 4 cos ，所以 x2 y24 x4 y0，即( x2) 2( y2) 28；直线 l 的普通方程为 x y2 30.3 3(2)把直线 l 的参数方程代入到圆 C：x2 y24 x4 y0 中，得 t2(45 )t330，3设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，则 t1t233.点 P(2，3)显然在直线 l 上，由直线标准参数方程下
6、t 的几何意义知|PA|PB| t1t2|33，所以| PA|PB|33.5(2017贵州模拟)极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，3以 x 轴正半轴为极轴，曲线 C1的极坐标方程为 4cos ( 0)，曲线 C2的参数方程为Error! (t 为参数，0 )，射线 ， ， 与曲线 C1分别交 4 4于(不包括极点 O)点 A， B， C.(1)求证：| OB| OC| |OA|；2(2)当 时， B， C 两点在曲线 C2上，求 m 与 的值12解：(1)证明：依题意| OA|4cos ，|OB|4cos ，( 4)|OC|4cos ，( 4)则| OB| OC|4
7、cos 4cos( 4) ( 4)2 (cos sin )2 (cos sin )2 24 cos |OA|.2 2(2)当 时， B， C 两点的极坐标分别为 ， ，化为直角坐标为 B12 (2， 3)(23， 6)， C ，所以经过点 B， C 的直线方程为 y (x1)，而 C2是经过点(1， 3) (3， 3) 3 3(m,0)且倾斜角为 的直线，故 m2， .236(2017唐山模拟)将曲线 C1： x2 y21 上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵2坐标不变)得到曲线 C2，点 A 为 C1与 x 轴正半轴的交点，直线 l 经过点 A 且倾斜角为 30，记 l 与曲线 C1的另一个
8、交点为 B，与曲线 C2在第一、三象限的交点分别为 C， D.(1)写出曲线 C2的普通方程及直线 l 的参数方程；(2)求| AC| BD|.解：(1)由题意可得 C2： y21，x22l：Error! (t 为参数)(2)将Error! 代入 y21，x22整理得 5t24 t40.3设点 C， D 对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t2 ，435且| AC| t1，| AD| t2.4又| AB|2| OA|cos 30 ，3故| AC| BD| AC| (|AD| |AB|)| AC| AD| AB| t1 t2 .3357(2016长春模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C
9、1的参数方程为Error!( t 为参数)，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 8cos.( 3)(1)求曲线 C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线 C1和曲线 C2交于 A， B 两点，求| AB|的最大值和最小值解：(1)对于曲线 C2有 8cos ，( 3)即 24 cos 4 sin ，3因此曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y24 x4 y0，3即( x2) 2( y2 )216，其表示一个圆3(2)将 C1的参数方程代入 C2的方程可得，t22 sin t130，3设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，则 t1
10、t22 sin ， t1t213.3所以| AB| t1 t2| t1 t2 2 4t1t2 (23sin )2 4 13 ，12sin2 52因此| AB|的最大值为 8，最小值为 2 .138(2017云南一模)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)在以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 .31 2cos2(1)直接写出直线 l 的普通方程、曲线 C 的直角坐标方程；(2)设曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围解：(1)直线 l 的普通方程为 x y30.曲线 C 的直角坐标方程为 3x2 y23.(2)曲线 C 的直角坐标方程为 3x2 y23，即 x2 1，y235曲线 C 上的点的坐标可表示为(cos ， sin )3 d|cos 3sin 3|2|2sin( 6 ) 3|2 .2sin( 6 ) 32 d 的最小值为 ，12 22d 的最大值为 .52 522 d ，22 522即 d 的取值范围为 .22， 522
