1、1高考达标检测（四十二）圆锥曲线的综合问题最值、范围、证明1设 F 是椭圆 C： 1( ab0)的左焦点，直线 l 为其左准线，直线 l 与 x 轴交x2a2 y2b2于点 P，线段 MN 为椭圆的长轴，已知| MN|8，且| PM|2| MF|.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A， B，求证： AFM BFN.解：(1)| MN|8， a4，又| PM|2| MF|，得 a2( a c)，a2c整理得 2e23 e10 e 或 e1(舍去)12 c2， b2 a2 c212，椭圆的标准方程为 1.x216 y212(2)证明：当 AB 的斜率为 0
2、 时，显然 AFM BFN0.满足题意当 AB 的斜率不为 0 时，点 P(8,0)， F(2,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 x my8，代入椭圆方程整理得：(3m24) y248 my1440，则 (48 m)24144(3 m24)，y1 y2 ， y1y2 .48m3m2 4 1443m2 4 kAF kBF y1x1 2 y2x2 2 y1my1 6 y2my2 62my1y2 6 y1 y2 my1 6 my2 6 0，2m1443m2 4 648m3m2 4 my1 6 my2 6 kAF kBF0，从而 AFM BFN.综上可知：恒有
3、AFM BFN.22(2017大庆模拟)已知抛物线 y24 x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A， B两点(1)若 2 ，求直线 AB 的斜率；AF FB (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值解：(1)依题意知 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 x my1.将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 y24 my40.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 y1 y24 m， y1y24.因为 2 ，AF FB 所以 y12 y2. 联立和，消去 y1， y2，得 m .24所以直线
4、AB 的斜率是 2 .2(2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2S AOB.因为 2S AOB2 |OF|y1 y2|12 4 ， y1 y2 2 4y1y2 1 m2所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4.3(2017贵阳适应性考试)已知椭圆 C1： y21( a1)的长轴长、短轴长、焦距x2a2分别为| A1A2|，| B1B2|，| F1F2|，且| F1F2|2是| A1A2|2与| B1B2|2的等差中项(1)求椭圆 C1的方程；(2)若曲线 C
5、2的方程为( x t)2 y2( t2 t)2 ，过椭圆 C1左顶点的直线3 (0 t22)l 与曲线 C2相切，求直线 l 被椭圆 C1截得的线段长的最小值解：(1)由题意得| B1B2|2 b2，| A1A2|2 a，|F1F2|2 c， a2 b2 c2，又 2(2c)2(2 a)22 2，解得 a23， c22，故椭圆 C1的方程为 y21.x23(2)由(1)知，可取椭圆 C1的左顶点为 A1( ，0)，3设直线 l 的方程为 y k(x )33由直线 l 与曲线 C2相切得 ( t )t，|k t 3 |k2 1 3整理得 t.|k|k2 1又 0 t ，所以 0 ，解得 0 k2
6、1.22 |k|k2 1 22由Error!消去 y，整理得(3 k21) x26 k2x9 k230.3直线 l 被椭圆 C1截得的线段一端点为 A1( ，0)，3设另一端点为 B，解方程可得点 B 的坐标为，( 33k2 33k2 1 ， 23k3k2 1)所以| A1B| ( 33k2 33k2 1 3)2 12k2 3k2 1 2 .23k2 13k2 1令 m (1 m )，k2 1 2则| A1B| .23m3 m2 1 1 233m 2m由函数 y3 m 的性质知 y3 m 在区间(1， 上是增函数，2m 2m 2所以当 m 时， y3 m 取得最大值 2 ，从而| A1B|mi
7、n .22m 2 624(2017沈阳质量监测)已知椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，x2a2 y2b2且| F1F2|6，直线 y kx 与椭圆交于 A， B 两点(1)若 AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程；(2)若 k ，且 A， B， F1， F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值；24(3)在(2)的条件下，设 P(x0， y0)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 k1(2，1)，试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围解：(1)由题意得 c3，根据 2a2 c16，得 a5.结合 a2 b2 c2，解得 a225， b216.所以椭圆的方程为 1.x225
8、 y2164(2)法一：由Error!得 x2 a2b20.(b218a2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)所以 x1 x20， x1x2 ， a2b2b2 18a2由 AB， F1F2互相平分且共圆，易知， AF2 BF2，因为 ( x13， y1)， ( x23， y2)，F2A F2B 所以 ( x13)( x23) y1y2F2A F2B x1x290.(118)即 x1x28，所以有 8， a2b2b2 18a2结合 b29 a2，解得 a212( a26 舍去)，所以离心率 e .32(若设 A(x1， y1)， B( x1， y1)相应给分)法二：设 A(x1， y1
9、)，又 AB， F1F2互相平分且共圆，所以 AB， F1F2是圆的直径，所以 x y 9，21 21又由椭圆及直线方程综合可得：Error!由前两个方程解得 x 8， y 1，21 21将其代入第三个方程并结合 b2 a2 c2 a29，解得 a212，故 e .32(3)由(2)的结论知，椭圆方程为 1，x212 y23由题可设 A(x1， y1)， B( x1， y1)，k1 ， k2 ，y0 y1x0 x1 y0 y1x0 x1所以 k1k2 ，y20 y21x20 x215又 ，y20 y21x20 x21 3(1 x2012) 3(1 x2112)x20 x21 14即 k2 ，14k1由2 k11 可知， k2 .18 14即直线 PB 的斜率 k2的取值范围是 .(18， 14)
