1、,1确定平面的条件 我们已知不共线三点可以确定一个平面，请探究： (1)一直线外一点和该直线能确定一个平面吗？ (2)两条平行直线能确定一个平面吗？ (3)两相交直线能确定一个平面吗？,解析 (1)可以如图，在直线l上任取相异两点，Pl，P、A、B三点不共线，由公理2，P、A、B三点可确定一个平面，经过直线l和l外一点P，有且仅有一个平面,(2)可以证法一：如图，在直线b上任取一点P，ab，Pa，由(1)知点P与直线a能确定一个平面，在内过P可作aa，这样过点P有两条直线b，a都与a平行，这不可能因此a与b重合 a，b，a与b可确定一个平面.,证法二：由平行线的定义，这两条直线在同一个平面内，
2、在b上任取一点P，则经过直线a与点P， ab，Pa. 由(1)知经过直线a与点P的平面只有一个，过a与b的平面只有一个，即a与b确定一个平面.,(3)可以如图在直线a上任取异于P的一点A， abP，Ab. 由(1)知A与b可确定一个平面， b，Pb，P， A，P，a， 经过a、b有且只有一个平面，即a、b确定一个平面.,习惯上我们把上面的结论叫做公理2的推论，即： 推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(即一直线及线外一点确定一个平面) 推论2 经过两条相交直线有且仅有一个平面(即两相交直线确定一个平面) 推论3 经过两条平行直线，有且仅有一个平面(即两平行直线确定一个平面) 这
3、三条推论和公理(2)一起可以作为确定平面的4个条件,2如果空间中的几个点或几条直线都在同一个平面内，那么我们就说它们 3两两相交的三条直线可确定几个平面？_ 答案 1个或3个图(1)与(2)中的三条直线a、b、c可确定一个平面，图(3)中的三条直线a、b、c可确定3个平面,共面,本节学习重点：点共线、线共点、共面问题 本节学习难点：点线共面问题的证明思路的分析,1掌握证明点共线、线共点、点线共面问题的基本思路 (1)共点问题 证明三线l1、l2、l3共点，一般先证明其中两条直线(如l1、l2)交于一点A，再证Al3，l3常常为两个平面的交线 (2)共线问题 证明A、B、C三点共线，一般先证直线
4、AB是平面、的交线；再证点C是与的公共点，CAB，即A、B、C三点共线,(3)共面问题 证明多个几何元素(点和直线)共面，一般先据公理2或其推论结合题设条件确定一个平面，再由公理1或公理3说明其它元素也在平面内 证明直线共面的一般方法有两种：一是先由两条平行或相交直线确定一个平面，再依据平面的基本性质证明其它直线在此平面内；二是先分别确定两个平面，再依据平面的基本性质证明两个平面是同一个平面(即两平面重合),注意证明中常常要说明两个平面是重合的，其基本模式如： 点A、B、C、D共面于，点A、B、C、E共面于，经过不共线三点A、B、C的平面有且仅有一个，与重合，从而A、B、C、D、E共面 直线a
5、、b、c共面于，直线a、b、d共面于，但直线a与b确定一个平面(ab或a与b相交)，与重合，a、b、c、d共面,2准确进行三种语言(文字、图形、符号语言)的转化，绘图中的虚实线要分清准确使用“、”等数学符号表示点、线、面的位置关系 3注意：过两点有且仅有一条直线，过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行；连接两点的线段最短,4反证法是间接证法的一种，它在立体几何证明中常常用到一些结论的证明在直接寻找理论根据比较困难的情况下，可以考虑反证法，在运用时一定要按步骤分层次进行： (1)作出和结论相反的假设； (2)从假设出发，依据已知条件以及有关定义、定理、公理，逐步推导出一个与已知或某公理、定理或
6、与一个已获证的命题相抵触的结论，从而得到一对逻辑矛盾； (3)推翻假设，肯定命题中的结论,例1 A、B表示点，a、b、c表示直线，、表示平面，下列结论中，正确结论的序号是_ ab，AaAb. aA，Ba，B与A不重合B. a，bB，bAa与b不相交 a，b，c，bcPPa.,解析 中，若点Ab，则abA与ab矛盾，故正确； 中，若B，A，Aa，Ba，a与aA矛盾，故正确； 中，如图，若b与a相交，设交点为P，则Pa a，P， 又bB，B， 若P与B重合，则Ba，B，又A，b与bA矛盾，若P与B不重合，则PB，即b，与bB矛盾 b与a不相交,中，bcP，Pb，又b，P. 同理P，又a，Pa，故正
7、确 故填.,例2 下列四个命题： 两条直线确定一个平面； 如果两个不重合平面有两个公共点A、B，那么它们就有无数多个公共点，并且这些公共点都在直线AB上； 过一条直线的平面有无数多个； 两个相交平面存在不在一条直线上的三个公共点 其中正确的有_(填序号),解析 两条相交或平行的直线可确定一个平面，两条既不相交又不平行的直线不能确定一个平面，故错； 两个不重合平面有两个公共点A、B，它们的交线为AB，所有公共点都落在交线上，正确； 过一条直线可以作无数个平面，如书脊与书页； 两相交平面的公共点都在交线上，故错 填.,例3 三个平面、两两相交，交于三条直线，即c，a，b，已知直线a和b不平行 求证
8、：a、b、c三条直线必过同一点 分析 证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，P是这两个平面的公共点，据公理3得出P在第三条直线上,解析 b，a，a，b a、b不平行 a、b必相交，设abP Pa，a， P，同理P 而c，Pc a、b、c相交于一点P 即a、b、c三条直线过同一点.,例4 过直线l外一点P引两条直线PA、PB和直线l分别相交于A、B两点，求证：三条直线PA、PB、l共面 分析 由Pl可知，P与l确定一个平面，只须证明PA、PB都在此平面内,解析 Pl，P与l确定一个平面，l， PAlA，PBlB， Al，Bl，A，B， 又P，PA，PB，
9、PA、PB、l共面于.,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证： (1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点,例5 已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行 分析 本题直接证明不易入手，故采用反证法 证明 反证法：如果直线AB和CD相交或平行，这两条直线确定平面，则AB、CD，A、B、C、D与已知矛盾AB和CD既不相交，也不平行,P为ABC所在平面外一点，D是AB的中点，则PD与BC一定不相交,证明 假设PDBCM，则MBC，BC平面ABC，M平面ABC， 又D是AB的中点，AB平面ABC，
10、D平面ABC， 直线MD平面ABC， P直线MD， P平面ABC，这与条件矛盾， PD与BC不相交,1回答下列问题： (1)为什么说平行四边形和梯形都是平面图形？ (2)一个角一定是平面图形吗？圆是平面图形吗？为什么？ (3)一个平面能把空间分成几部分？两个平面呢？三个平面呢？,解析 (1)两条平行直线确定一个平面，平行四边形和梯形都有一组对边平行，故它们的四个顶点都在同一个平面内，故说它们都是平面图形 (2)都是平面图形因为角的两边相交于顶点，两条相交直线确定一个平面，故角是平面图形，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，故圆是平面图形 (3)一个平面将空间分成两部分；两个平面可将空间分
11、成三部分或四部分；三个平面可将空间分成四部分、六部分、七部分或八部分,2怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内 解析 用两条细绳沿桌子对角两腿的下端拉直，看两绳是否相交，若相交则在同一个平面内，否则不在同一个平面内,3已知：abc，laA，lbB，lcC，求证：a、b、c、l共面 证明 ab，a、b确定一个平面， laA，lbB， A，B，故l，a、b、l共面于. 又ac，a、c确定一个平面， 同理可证：l，a、c、l共面于， alA， 过两条相交直线有且只有一个平面 与重合，即直线a、b、c、l共面,4如图所示，在正方体ABCDABCD中，点P在棱CC上，画出直线AP和平面ABCD
12、的交点,解析 如图所示，连接AC，AC，显然AC是平面AACC和平面ABCD的交线 设点Q是直线AP和平面ABCD的交点，则Q平面ABCD，而QAP，AP平面AACC，所以Q平面AACC.故点Q是平面ABCD和平面AACC的公共点根据公理3，点Q一定在这两个平面的交线AC上延长AP交AC的延长线于点Q，点Q即直线AP和平面ABCD的交点,点评 还可以由AA与PC平行，且不相等，AP与AC必相交于一点Q，AC平面ABCD，Q是AP与平面ABCD的交点,5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线,解析 在平面AA1D1D内，延长D1F， D1F与DA不平行， 因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则PFD1，PDA. 又FD1平面BED1F，AD平面ABCD， P平面BED1F，P平面ABCD. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， 连结PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线,
